Classifique os sistemas discretos representados pelas equações (ou sequências) abaixo em: linear/ não linear; variante/invariante; causal/não causal.
y[n]=x[-n]+3 x[n-1]

Passo 1

O enunciado dá o sistema discreto
y[n] = x[-n] \;+\; 3\,x[n-1]
e pede para classificá-lo em relação a linearidade, invariância temporal e causalidade. Vamos, portanto, verificar cada propriedade usando as definições clássicas de sistemas discretos.

Passo 2

Verificação de linearidade. Suponha duas entradas x_{1}[n] e x_{2}[n] com saídas correspondentes
y_{1}[n] = x_{1}[-n] + 3\,x_{1}[n-1], \quad y_{2}[n] = x_{2}[-n] + 3\,x_{2}[n-1].
Para uma combinação linear da entrada x[n] = a\,x_{1}[n] + b\,x_{2}[n], a saída é
y[n] = x[-n] + 3\,x[n-1] = a\,x_{1}[-n] + b\,x_{2}[-n] + 3\bigl(a\,x_{1}[n-1] + b\,x_{2}[n-1]\bigr) = a\,y_{1}[n] + b\,y_{2}[n].
Logo, o sistema satisfaz superposição e é linear.

Passo 3

Verificação de invariância temporal. Seja uma entrada defasada x_{\Delta}[n] = x[n-n_{0}]. A saída dessa entrada é
y_{\Delta}[n] = x_{\Delta}[-n] + 3\,x_{\Delta}[n-1] = x[-n - n_{0}] + 3\,x[n-1 - n_{0}].
Por outro lado, se o sistema fosse invariante, deveríamos ter
y[n-n_{0}] = x\bigl[-(n-n_{0})\bigr] + 3\,x\bigl[n-n_{0}-1\bigr] = x[-n + n_{0}] + 3\,x[n-1 - n_{0}].
Como x[-n - n_{0}]\neq x[-n + n_{0}] em geral, o sistema muda de comportamento sob deslocamento. Portanto é variante no tempo.

Passo 4

Verificação de causalidade. Num sistema causal, y[n] só pode depender de x[k] com k\le n. Aqui
y[n] = x[-n] + 3\,x[n-1].
O termo x[n-1] usa índice n-1\le n, ok para causalidade. Mas o termo x[-n] usa índice k=-n. Para que -n\le n valesse sempre precisaríamos ter n\ge0. Nos instantes n<0, observa-se -n > n, ou seja, o sistema depende de valores de entrada futuros k>n. Logo ele é não causal.

Resposta

O sistema é linear, variante no tempo e não causal.

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