Utilizando a Transformada Z, determine a resposta para os seguintes sistemas:
  • y[k-2]=u[k]+1,7 y[k-1]-0,72 y[k]
y[n]=36 u[k]+50(1,25)^{k}-80(1,111)^{k}
  • y[k+2]+1,8 y[k+1]+0,81 y[k]=3 u[k+1]-1,2 u[k]
y[n]=0,4986 u[k]+2,053 k(-0,9)^{k-1}-0,4986(-0,9)^{k}
  • x[k+2]+3 x[k+1]+2 x[k]=0, \operatorname{com} x[0]=0 e x[1]=1
y[n]=(-1)^{k}-(-2)^{k}
  • y[n]-5 y[n-1]+6 y[n-2]=2 x[n-1], \operatorname{com} x[n]=0
y[n]=0
  • y[n]-5 y[n-1]+6 y[n-2]=2 x[n-1], \operatorname{com} x[n]= impulso
y[n]=-2(2)^{k}+3(3)^{k}
  • y[n]-5 y[n-1]+6 y[n-2]=2 x[n-1], \operatorname{com} x[n]= degrau
y[n]=u[k]-4(2)^{k}+3(3)^{k}

Passo 1

O enunciado pede para, usando a Transformada Z, encontrar a saída y[k] (ou x[k]) de seis sistemas discretos descritos por equações de diferenças lineares, com entradas degrau u[k], impulso \delta[k] ou condições iniciais dadas. Vamos usar sempre o mesmo roteiro:
1. Aplicar a Transformada Z nos dois lados da equação de diferença supondo repouso inicial (exceto onde ICs são dadas).
2. Resolver para Y(z) (ou X(z)).
3. Fazer expansão em frações parciais e inverter para obter y[k] (ou x[k]).

Passo 2

Para o sistema
y[k-2]=u[k]+1,7\,y[k-1]-0,72\,y[k],
assumimos repouso inicial. Tomando Z\–transformadas:
z^{-2}Y(z)=U(z)+1{,}7\,z^{-1}Y(z)-0{,}72\,Y(z).
Isolando Y(z):
Y(z)\bigl(z^{-2}-1{,}7\,z^{-1}+0{,}72\bigr)=U(z) \quad\Longrightarrow\quad Y(z)=\frac{U(z)\,z^{2}}{1-1{,}7\,z+0{,}72\,z^{2}}.
Como u[k] é degrau, U(z)=\dfrac{z}{z-1}. Então
Y(z)=\frac{z^{3}}{(z-1)(0{,}72\,z^{2}-1{,}7\,z+1)}.
Os pólos são z=1{,}25 e z=1{,}111. Em frações parciais obtém-se
Y(z)=\frac{36}{z-1}+\frac{50}{z-1{,}25}-\frac{80}{z-1{,}111}
e, invertendo,
y[k]=36\,u[k]+50\,(1{,}25)^{k}-80\,(1{,}111)^{k}.

Passo 3

Para
y[k+2]+1{,}8\,y[k+1]+0{,}81\,y[k]=3\,u[k+1]-1{,}2\,u[k],
também repouso inicial. Fazendo Z\–transformadas e usando U(z)=z/(z-1), obtemos
Y(z)\bigl(z^{2}+1{,}8\,z+0{,}81\bigr) =\bigl(3\,z-1{,}2\bigr)\frac{z}{z-1}.
Como z^{2}+1{,}8z+0{,}81=(z+0{,}9)^{2}, em frações parciais chega-se a
Y(z)=\frac{0{,}4986}{1-z^{-1}}+\frac{2{,}053}{(1+0{,}9\,z^{-1})^{2}}-\frac{0{,}4986}{1+0{,}9\,z^{-1}},
e, invertendo,
y[k]=0{,}4986\,u[k]+2{,}053\,k\,(-0,9)^{\,k-1}-0{,}4986\,(-0,9)^{\,k}.

Passo 4

Para
x[k+2]+3\,x[k+1]+2\,x[k]=0,\quad x[0]=0,\;x[1]=1,
aplicamos Z\–transformada com ICs não nulos:
\bigl(z^{2}+3z+2\bigr)X(z)-z\,x[0]-x[1]-3\,x[0]=0 \quad\Longrightarrow\quad X(z)=\frac{1}{(z+1)(z+2)}.
Em frações parciais
X(z)=\frac{1}{z+1}-\frac{1}{z+2},
logo
x[k]=(-1)^{k}-(-2)^{k}.

Passo 5

Para
y[n]-5\,y[n-1]+6\,y[n-2]=2\,x[n-1],
a) se x[n]=0 (entrada nula), tem-se Y(z)[1-5z^{-1}+6z^{-2}]=0 e portanto
y[n]=0.
b) se x[n]=\delta[n] (impulso), então Z\{2\,x[n-1]\}=2\,z^{-1} e
Y(z)[1-5z^{-1}+6z^{-2}]=2\,z^{-1} \quad\Longrightarrow\quad Y(z)=\frac{2z}{z^{2}-5z+6}=\frac{-4}{z-2}+\frac{6}{z-3},
levando a
y[n]=-4\,(2)^{n}+6\,(3)^{n}.
c) se x[n]=u[n] (degrau), então Z\{2\,x[n-1]\}=2\,z^{-1}/(1-z^{-1}) e
Y(z)=\frac{2z}{(z-2)(z-3)}\;\frac{1}{z-1}
fazendo frações parciais chega-se a
Y(z)=\frac{1}{1-z^{-1}}-\frac{4}{1-2z^{-1}}+\frac{3}{1-3z^{-1}}
e, invertendo,
y[n]=u[n]-4\,(2)^{n}+3\,(3)^{n}.

Resposta

1 y[k]=36,u[k]+50,(1{,}25){k}-80,(1{,}111){k}.)
2 y[k]=0{,}4986,u[k]+2{,}053,k,(-0,9){k-1}-0{,}4986,(-0,9){k}.)
3 x[k]=(-1){k}-(-2){k}.)
4a y[n]=0) para x[n]=0.
4b y[n]=-4,(2){n}+6,(3){n}) para x[n]=\delta[n].
4c y[n]=u[n]-4,(2){n}+3,(3){n}) para x[n]=u[n].

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