Seja um sistema LIT causal descrito pela equação de diferenças a seguir:
y[n]=13 y[n-1]+x[n]
(2,0) Determine e esboce a saída se a entrada for dada por x[n]=u[n]

Passo 1

Beleza, a gente tem um sistema LIT causal dado por
y[n]=tfrac13,y[n-1]+x[n]
e a entrada é (função degrau).
Conteúdo: equação de diferenças de primeira ordem.
O que precisamos:
  1. entender condição inicial (sistema em repouso, logo para ),
  2. achar a solução homogênea,
  3. achar uma solução particular,
  4. usar a condição inicial pra fechar o valor das constantes.

Passo 2

Primeiro, note que y[n]-tfrac13,y[n-1]=1 para . Como o sistema é causal e está em repouso antes de , temos . A equação para vira

Passo 3

Solução homogênea yh[n]-tfrac13,yh[n-1]=0 Longrightarrow yh[n]=Cl(tfrac13r)^n : resolve

Passo 4

Solução particular K-tfrac13K=1 ;Longrightarrow; tfrac23K=1 ;Longrightarrow; K=tfrac32 : como o lado direito é constante 1, tentamos .
Substituindo:

Passo 5

A solução geral é
y[n]=yh[n]+yp[n] = Cl(tfrac13r)^n + tfrac32
Agora usamos y[0]=Ccdot1 + tfrac32 = 1 ;Longrightarrow; C = 1 - tfrac32 = -tfrac12 :
boxedy[n] = -tfrac12l(tfrac13r)^n + tfrac32, n>=0,
Logo
e para .
Esboço: uma exponencial que parte em , cresce e se aproxima assintoticamente de .

Resposta

y[n] = l(tfrac32 - tfrac12l(tfrac13r)^nr),u[n]

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