Classifique a superfície \frac{x^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{25}+z=0 como elipsóide, hiperbolóide de uma folha, hiperbolóide de duas folhas, cone elíptico, parabolóide elíptico ou parabolóide hiperbólico.

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície quadrática
\frac{x^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{25}+z=0
e pede para classificá-la entre elipsóide, hiperbolóide de uma folha, hiperbolóide de duas folhas, cone elíptico, parabolóide elíptico ou parabolóide hiperbólico. Vamos usar a forma explícita em z e a teoria de classificação de superfícies quadráticas.

Passo 2

Isolando z, obtemos
z = -\,\frac{x^{2}}{36} \;+\;\frac{y^{2}}{25}.
Perceba que em z = ax^{2} + by^{2} temos a=-\tfrac{1}{36}<0 e b=\tfrac{1}{25}>0. Ou seja, um coeficiente de termo quadrático é negativo e o outro é positivo.

Passo 3

Pela teoria de quadráticas, quando a superfície pode ser escrita como
z = a\,x^{2} + b\,y^{2}
com sinais opostos em a e b, ela é um parabolóide hiperbólico (uma sela). Logo, a classificação é:

Resposta

Parabolóide hiperbólico.

Exercícios relacionados