Seja Q um retângulo centrado na origem, cujo lado maior mede o triplo do lado menor. Sabendo que um dos vértices de Q é V_{1}=(1,2) e que o vértice V_{2}, consecutivo a V_{1} no sentido trigonométrico (anti-horário), é tal que V_{1} V_{2} é um lado menor, determine os outros vértices de Q.

Passo 1

O enunciado dá um retângulo Q centrado na origem, com lado maior medindo três vezes o lado menor, e pede os vértices quando um deles é
V_{1} = (1,2)
e V_{1}V_{2} é o lado menor, sendo V_{2} consecutivo a V_{1} no sentido trigonométrico (anti-horário). Vamos usar simetria central, ortogonalidade dos lados e razão de comprimentos para achar V_{2}, e em seguida obter V_{3} e V_{4}.

Passo 2

Como o retângulo é centrado na origem, o vértice oposto a V_{1} é
V_{3} = -V_{1} = (-1,-2).
Chamando V_{2}=(x,y) e sabendo que V_{4} é o oposto de V_{2}, temos
V_{4} = -V_{2} = (-x,-y).

Passo 3

Os vetores correspondentes a lados adjacentes em V_{1} são
\overrightarrow{V_{1}V_{2}} = (x-1,y-2), \quad \overrightarrow{V_{1}V_{4}} = (-x-1,\,-y-2),
e devem ser ortogonais, portanto
(x-1)(-x-1)+(y-2)(-y-2)=0 \quad\Longrightarrow\quad x^2+y^2=5.

Passo 4

O comprimento do lado maior vale três vezes o do menor, ou seja
\bigl\|\overrightarrow{V_{1}V_{4}}\bigr\| \;=\; 3\,\bigl\|\overrightarrow{V_{1}V_{2}}\bigr\|.
Escrevendo os quadrados das normas,
(x+1)^2+(y+2)^2 \;=\;9\bigl[(x-1)^2+(y-2)^2\bigr].
Expandindo e simplificando com x^2+y^2=5 obtemos a reta
x+2y-4=0.
Resolvendo em conjunto com x^2+y^2=5
y\in\Bigl\{1,\tfrac{11}{5}\Bigr\}, \quad x=4-2y
logo as soluções são
V_{2}=\bigl(2,\,1\bigr) \quad\text{ou}\quad V_{2}=\Bigl(-\tfrac25,\;\tfrac{11}5\Bigr).

Passo 5

Para escolher a que vem após V_{1} em sentido anti-horário, comparamos os ângulos polares no eixo x:
\arg(1,2)\approx63{,}4^\circ, \quad \arg(2,1)\approx26{,}6^\circ, \quad \arg\bigl(-\tfrac25,\tfrac{11}5\bigr)\approx100{,}3^\circ.
O próximo ângulo maior que 63{,}4^\circ é 100{,}3^\circ. Assim
V_{2}=\Bigl(-\tfrac25,\;\tfrac{11}5\Bigr), \quad V_{4}=-V_{2}=\Bigl(\tfrac25,\;-\tfrac{11}5\Bigr).

Resposta

Os vértices de Q, em ordem trigonométrica começando por V_{1}, são
V_{1}=(1,2),\quad V_{2}=\Bigl(-\tfrac25,\;\tfrac{11}5\Bigr),\quad V_{3}=(-1,-2),\quad V_{4}=\Bigl(\tfrac25,\;-\tfrac{11}5\Bigr).

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