Identifique a superficie quádrica associada a cada uma das equações:
Passo 1
O enunciado pede para identificar a superfície quádica dada por
O conteúdo é classificação de superfícies quádricas em três variáveis. Para resolver, vamos comparar com as formas canônicas de paraboloides:
– se aparece isolado e há termos quadráticos em duas variáveis, é um paraboloide;
– se os coeficientes dos termos quadráticos têm o mesmo sinal, é paraboloide elíptico;
– se têm sinais opostos, é paraboloide hiperbólico.
– se
– se os coeficientes dos termos quadráticos têm o mesmo sinal, é paraboloide elíptico;
– se têm sinais opostos, é paraboloide hiperbólico.
Passo 2
Reescrevendo explicitamente os coeficientes:
Aqui
vem com coeficiente negativo e
com coeficiente positivo. Temos exatamente dois quadráticos de sinais opostos em relação a
.
Passo 3
Do fato de um termo quadrático ser negativo e o outro positivo, concluímos que a superfície tem curvaturas de sinais opostos (sela). Essa é a característica de um paraboloide hiperbólico.
Resposta
A superfície é um paraboloide hiperbólico.