Identifique a superficie quádrica associada a cada uma das equações:
z=\frac{y^{2}}{25}-x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para identificar a superfície quádica dada por
z = \frac{y^{2}}{25} - x^{2}.
O conteúdo é classificação de superfícies quádricas em três variáveis. Para resolver, vamos comparar com as formas canônicas de paraboloides:
– se z aparece isolado e há termos quadráticos em duas variáveis, é um paraboloide;
– se os coeficientes dos termos quadráticos têm o mesmo sinal, é paraboloide elíptico;
– se têm sinais opostos, é paraboloide hiperbólico.

Passo 2

Reescrevendo explicitamente os coeficientes:
z = -\,x^{2} + \frac{1}{25}\,y^{2}.
Aqui x^{2} vem com coeficiente negativo e y^{2} com coeficiente positivo. Temos exatamente dois quadráticos de sinais opostos em relação a z.

Passo 3

Do fato de um termo quadrático ser negativo e o outro positivo, concluímos que a superfície tem curvaturas de sinais opostos (sela). Essa é a característica de um paraboloide hiperbólico.

Resposta

A superfície é um paraboloide hiperbólico.

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