Classifique (V) ou (F), justificando as suas respostas:
(g) ( ) Se sumn=0^+infty an(x-a)^n tem raio de convergência R, então as séries sumn=1^+infty n an(x-a)^n-1 e sumn=0^+infty ann+1(x-a)^n+1 também têm raio de convergência R.

Passo 1

Vamos analisar a seguinte afirmação: Se a série sumn=0^+infty an(x-a)^n tem raio de convergência R, então as séries sumn=1^+infty n an(x-a)^n-1 e sumn=0^+infty ann+1(x-a)^n+1 também têm raio de convergência R. O conteúdo envolvido aqui são séries de potências e o conceito de raio de convergência. Vamos utilizar o teste do raio de convergência e propriedades de séries derivadas e integradas para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o raio de convergência R de uma série de potências sumn=0^+infty an(x-a)^n determina o intervalo onde a série converge. Esse raio pode ser encontrado usando o critério da raiz ou o critério da razão.

Passo 3

Agora, consideremos a primeira série: sumn=1^+infty n an(x-a)^n-1. Observamos que esta série é a derivada da série original em relação a x. Sabemos que a derivada de uma série de potências dentro do seu intervalo de convergência também possui o mesmo raio de convergência. Portanto, o raio de convergência dessa série derivada é R.

Passo 4

Vamos analisar a segunda série: sumn=0^+infty ann+1(x-a)^n+1. Essa série pode ser interpretada como a integral da série original em relação a x. A integral de uma série de potências dentro do seu intervalo de convergência preserva o raio de convergência original. Assim, a série integrada também terá raio de convergência R.

Resposta

(V) Verdadeiro. Ambas as séries derivada e integrada da série original mantêm o mesmo raio de convergência R.

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