Seja f(x, y)=-- 8 x^5+5 x^3 y-2 y^2. Calcule:
c) Calcule o vetor gradiente Lambda =partial fpartial x(-1,2) i+partial fpartial y(-1,2) j

Passo 1

Então, a gente tem a função e precisa calcular o vetor gradiente no ponto . O gradiente é basicamente um vetor que mostra a direção de maior crescimento da função e envolve as derivadas parciais de em relação a e . Para resolver isso, vamos precisar calcular essas derivadas parciais e depois avaliar elas no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. A derivada parcial de em relação a , denotada por , é como se a gente derivasse considerando constante. Da mesma forma, a derivada parcial em relação a , , é derivar considerando constante.

Passo 3

Vamos calcular f(x, y) = -8x^5 + 5x^3y - 2y^2 :
partial fpartial x = -40x^4 + 15x^2y
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular f(x, y) = -8x^5 + 5x^3y - 2y^2 :
partial fpartial y = 5x^3 - 4y
Derivando em relação a :

Passo 5

Vamos avaliar as derivadas parciais no ponto partial fpartial x(-1, 2) = -40(-1)^4 + 15(-1)^2 times 2 = -40(1) + 15(1) times 2 = -40 + 30 = -10 :
partial fpartial y(-1, 2) = 5(-1)^3 - 4 times 2 = 5(-1) - 8 = -5 - 8 = -13

Passo 6

Agora, montamos o vetor gradiente Lambda = partial fpartial x(-1,2) , i + partial fpartial y(-1,2) , j = -10, i -13, j usando as derivadas avaliadas:

Resposta

O vetor gradiente no ponto é .

Exercícios relacionados