Dada a função f(x, y) = (x * y) / raiz(x^2 + y^2), determine:
c) analise a continuidade da função em (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a continuidade da função no ponto . Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre limites e continuidade de funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua no ponto se o limite de quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos verificar a continuidade em . Mas antes, precisamos ver se o limite existe quando se aproxima de .

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando tende a . Para isso, podemos usar coordenadas polares, que facilitam a análise de limites em várias direções.
Em coordenadas polares, temos:
Onde e é o ângulo.
Substituindo na função:

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite de quando tende a 0.
Como e são sempre limitados entre -1 e 1, o produto também é limitado. Portanto, o termo vai depender principalmente de , que está indo para 0.
Assim:
Isso significa que, independente do caminho que tome para se aproximar de , o limite será 0.

Passo 5

Agora, precisamos verificar o valor da função no ponto . Porém, ao substituirmos e na função original:
Isso é indeterminado, ou seja, a função não está definida em .

Passo 6

Para concluir a análise de continuidade, normalmente a função precisa estar definida no ponto. Mas, mesmo que definíssemos , o limite que encontramos também é 0, o que satisfaria a condição de continuidade.
No entanto, como a função original não está definida em , sem essa definição adicional, a função não é contínua nesse ponto.

Resposta

A função não é contínua no ponto porque não está definida nesse ponto.

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