Classifique em verdadeira ou falsa
a função
muda de sinal duas vezes no intervalo [0,4]
a função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para classificar como verdadeira ou falsa a afirmação: "a função
muda de sinal duas vezes no intervalo
".
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é
. - O intervalo considerado é
. - A pergunta é se a função muda de sinal exatamente duas vezes dentro desse intervalo.
Passo 2
Vamos entender o que significa “mudar de sinal” e uma ferramenta prática para testar isso.
- “Mudar de sinal” numa função significa que, ao atravessar determinado ponto
(normalmente uma raiz), os valores da função passam de positivos para negativos ou de negativos para positivos ao passar por . Em termos práticos, olhando para os valores à esquerda e à direita de , o sinal é diferente. - Quando a função está fatorada, como aqui, é útil olhar cada fator separadamente. Se um fator tem raiz em
com multiplicidade par, a função normalmente NÃO troca de sinal em . Se a multiplicidade for ímpar, a função normalmente TROCA de sinal em . - Explicando multiplicidade de forma simples: se
é um fator e é par (por exemplo ), a função “toca” o eixo em e volta para o mesmo lado (não troca sinal). Se é ímpar (por exemplo ), a função atravessa o eixo em (troca sinal).
Exemplos rápidos (para fixar):
-
: em a função é zero, mas para e os valores têm o mesmo sinal (não muda de sinal). -
: em a função muda de sinal (de negativo para positivo ou vice-versa) porque a multiplicidade é 3 (ímpar).
Passo 3
Identificar as raízes (zeros) e suas multiplicidades para
.
- O fator
anula a função em . A multiplicidade aqui é (ímpar). - O fator
anula a função em . A multiplicidade aqui é (par).
Portanto as raízes são
(multiplicidade
) e
(multiplicidade
). Ambas estão dentro do intervalo
.
Passo 4
Fazer uma análise de sinais por intervalos, dividindo
pelos pontos críticos
e
. Os subintervalos relevantes são
,
e
. Para cada subintervalo escolhemos um ponto teste e avaliamos o sinal dos fatores.
-
Para
em , por exemplo : -
. -
. - Logo
. Então em a função é negativa.
-
-
Para
em , por exemplo : -
. -
. - Logo
. Então em a função é positiva.
-
-
Para
em , por exemplo : -
. -
. - Logo
. Então em a função é positiva.
-
Também verificamos exatamente nos zeros:
-
. -
.
Passo 5
Contar as mudanças de sinal ao longo do intervalo
, seguindo a ordem crescente de
.
- À esquerda de
(por exemplo em ) temos . À direita de (por exemplo em ) temos . Logo em a função troca de sinal (de negativo para positivo). Isso corresponde à multiplicidade ímpar em . - Em
, imediatamente à esquerda (por exemplo em ) temos e imediatamente à direita (por exemplo em ) também temos . Então em a função NÃO troca de sinal — apenas toca o eixo e volta para o mesmo lado (isso é coerente com multiplicidade par).
Resultado: há exatamente UMA mudança de sinal no intervalo
(em
), e não DUAS.
Passo 6
Conclusão final e comentário motivador: a afirmação "a função muda de sinal duas vezes no intervalo
" é incorreta — ela muda de sinal apenas uma vez. Coragem: esse tipo de pergunta é clássica e a chave é sempre checar multiplicidades das raízes!
Resposta
Falsa