Classifique em verdadeira ou falsa
a função f(x)=(x-3)^{2}(x-1) muda de sinal duas vezes no intervalo [0,4]

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=(x-3)^{2}(x-1) e pede para classificar como verdadeira ou falsa a afirmação: "a função f muda de sinal duas vezes no intervalo [0,4]".
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é f(x)=(x-3)^{2}(x-1).
  • O intervalo considerado é [0,4].
  • A pergunta é se a função muda de sinal exatamente duas vezes dentro desse intervalo.

Passo 2

Vamos entender o que significa “mudar de sinal” e uma ferramenta prática para testar isso.
  • “Mudar de sinal” numa função significa que, ao atravessar determinado ponto c (normalmente uma raiz), os valores da função passam de positivos para negativos ou de negativos para positivos ao passar por c. Em termos práticos, olhando para os valores à esquerda e à direita de c, o sinal é diferente.
  • Quando a função está fatorada, como aqui, é útil olhar cada fator separadamente. Se um fator tem raiz em c com multiplicidade par, a função normalmente NÃO troca de sinal em c. Se a multiplicidade for ímpar, a função normalmente TROCA de sinal em c.
  • Explicando multiplicidade de forma simples: se (x-a)^k é um fator e k é par (por exemplo k=2), a função “toca” o eixo em x=a e volta para o mesmo lado (não troca sinal). Se k é ímpar (por exemplo k=1), a função atravessa o eixo em x=a (troca sinal).
Exemplos rápidos (para fixar):
  • g(x)=(x-2)^2: em x=2 a função é zero, mas para x<2 e x>2 os valores têm o mesmo sinal (não muda de sinal).
  • h(x)=(x-2)^3: em x=2 a função muda de sinal (de negativo para positivo ou vice-versa) porque a multiplicidade é 3 (ímpar).

Passo 3

Identificar as raízes (zeros) e suas multiplicidades para f(x)=(x-3)^{2}(x-1).
  • O fator (x-1) anula a função em x=1. A multiplicidade aqui é 1 (ímpar).
  • O fator (x-3)^{2} anula a função em x=3. A multiplicidade aqui é 2 (par).
Portanto as raízes são x=1 (multiplicidade 1) e x=3 (multiplicidade 2). Ambas estão dentro do intervalo [0,4].

Passo 4

Fazer uma análise de sinais por intervalos, dividindo [0,4] pelos pontos críticos 1 e 3. Os subintervalos relevantes são [0,1), (1,3) e (3,4]. Para cada subintervalo escolhemos um ponto teste e avaliamos o sinal dos fatores.
  • Para x em [0,1), por exemplo x=0:
    • (x-3)^{2} = (0-3)^{2} = 9 > 0.
    • (x-1) = (0-1) = -1 < 0.
    • Logo f(0) = (x-3)^{2}(x-1) < 0. Então em [0,1) a função é negativa.
  • Para x em (1,3), por exemplo x=2:
    • (x-3)^{2} = (2-3)^{2} = 1 > 0.
    • (x-1) = (2-1) = 1 > 0.
    • Logo f(2) > 0. Então em (1,3) a função é positiva.
  • Para x em (3,4], por exemplo x=3{,}5:
    • (x-3)^{2} = (3{,}5-3)^{2} = (0{,}5)^{2} > 0.
    • (x-1) = (3{,}5-1) = 2{,}5 > 0.
    • Logo f(3{,}5) > 0. Então em (3,4] a função é positiva.
Também verificamos exatamente nos zeros:
  • f(1)=0.
  • f(3)=0.

Passo 5

Contar as mudanças de sinal ao longo do intervalo [0,4], seguindo a ordem crescente de x.
  • À esquerda de x=1 (por exemplo em x=0) temos f<0. À direita de x=1 (por exemplo em x=2) temos f>0. Logo em x=1 a função troca de sinal (de negativo para positivo). Isso corresponde à multiplicidade ímpar em x=1.
  • Em x=3, imediatamente à esquerda (por exemplo em x=2{,}9) temos f>0 e imediatamente à direita (por exemplo em x=3{,}1) também temos f>0. Então em x=3 a função NÃO troca de sinal — apenas toca o eixo e volta para o mesmo lado (isso é coerente com multiplicidade par).
Resultado: há exatamente UMA mudança de sinal no intervalo [0,4] (em x=1), e não DUAS.

Passo 6

Conclusão final e comentário motivador: a afirmação "a função muda de sinal duas vezes no intervalo [0,4]" é incorreta — ela muda de sinal apenas uma vez. Coragem: esse tipo de pergunta é clássica e a chave é sempre checar multiplicidades das raízes!

Resposta

Falsa

Exercícios relacionados