Estime o valor de \frac{1}{\sqrt{0.993}} utilizando uma aproximação linear:
(a) 1.0023
(b) 1.0035
(c) 1.0045
(d) 1.0056

Passo 1

O enunciado pede que se estime o valor de \dfrac{1}{\sqrt{0,993}} usando uma aproximação linear e que se escolha a alternativa correta entre:
(a) 1,0023, (b) 1,0035, (c) 1,0045, (d) 1,0056.
Informações dadas: o número em que queremos avaliar a função é x=0,993. O método pedido é “aproximação linear” (linearização).

Passo 2

Defino a função que vou aproximar. Tome
f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}.
Explicando a ideia: a aproximação linear (ou linearização) de f em torno de um ponto a diz que, para x próximo de a,
f(x)\approx f(a)+f'(a)\,(x-a).
Aqui a é um ponto onde conhecemos f(a) facilmente, f'(a) é a derivada de f em a, e x-a é a pequena variação em relação a a. A aproximação usa a reta tangente em a para estimar f(x) quando x está perto de a.

Passo 3

Escolho o ponto de expansão a. Critério: escolher um a próximo de 0,993 e em que f(a) e f'(a) sejam fáceis de calcular mentalmente. O candidato natural é
a=1,
porque \sqrt{1}=1 e isso simplifica muito as contas. Note que 0,993 está bem perto de 1 (diferença 0,007), então a linearização em a=1 será precisa.

Passo 4

Calculo f(a). Substituindo a=1 em f,
f(1)=\frac{1}{\sqrt{1}}=1.

Passo 5

Calculo a derivada f'(x). Diferenciando f(x)=x^{-1/2} com respeito a x,
f'(x)=-\tfrac{1}{2}\,x^{-3/2} = -\frac{1}{2x^{3/2}}.
Explicando: ao derivar x^{n} usa-se n x^{n-1}; aqui n=-\tfrac{1}{2}, então vem -\tfrac{1}{2}x^{-3/2}.

Passo 6

Avalio a derivada em a=1:
f'(1)=-\frac{1}{2\cdot 1^{3/2}}=-\frac{1}{2}.

Passo 7

Calculo a diferença x-a com x=0,993 e a=1:
x-a=0,993-1=-0,007.
Agora aplico a fórmula da linearização:
f(0,993)\approx f(1)+f'(1)\,(0,993-1)=1+\left(-\tfrac{1}{2}\right)\cdot(-0,007).

Passo 8

Faço a multiplicação e a soma:
\left(-\tfrac{1}{2}\right)\cdot(-0,007)=\tfrac{1}{2}\cdot 0,007=0,0035,
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f(0,993)\approx 1+0,0035=1,0035.
Portanto a aproximação linear dá 1,0035, que corresponde à alternativa (b).

Resposta

(b) 1,0035

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