Estime o valor de
utilizando uma aproximação linear:
(a) 1.0023
(b) 1.0035
(c) 1.0045
(d) 1.0056
(a) 1.0023
(b) 1.0035
(c) 1.0045
(d) 1.0056
Passo 1
O enunciado pede que se estime o valor de
usando uma aproximação linear e que se escolha a alternativa correta entre:
(a) , (b)
, (c)
, (d)
.
Informações dadas: o número em que queremos avaliar a função é . O método pedido é “aproximação linear” (linearização).
(a)
Informações dadas: o número em que queremos avaliar a função é
Passo 2
Defino a função que vou aproximar. Tome
Explicando a ideia: a aproximação linear (ou linearização) de
em torno de um ponto
diz que, para
próximo de
,
Aqui
é um ponto onde conhecemos
facilmente,
é a derivada de
em
, e
é a pequena variação em relação a
. A aproximação usa a reta tangente em
para estimar
quando
está perto de
.
Passo 3
Escolho o ponto de expansão
. Critério: escolher um
próximo de
e em que
e
sejam fáceis de calcular mentalmente. O candidato natural é
porque
e isso simplifica muito as contas. Note que
está bem perto de
(diferença
), então a linearização em
será precisa.
Passo 4
Calculo
. Substituindo
em
,
Passo 5
Calculo a derivada
. Diferenciando
com respeito a
,
Explicando: ao derivar
usa-se
; aqui
, então vem
.
Passo 6
Avalio a derivada em
:
Passo 7
Calculo a diferença
com
e
:
Agora aplico a fórmula da linearização:
Passo 8
Faço a multiplicação e a soma:
logo
Portanto a aproximação linear dá
, que corresponde à alternativa (b).
Resposta
(b)