Classifique em verdadeira ou falsa
a função f(x)=(x+1)^{2}(x-1)^{3} muda de sinal duas vezes no intervalo [ 0,2 ]

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=(x+1)^{2}(x-1)^{3} e pede para classificar como verdadeira ou falsa a afirmação: "a função f muda de sinal duas vezes no intervalo [0,2]".
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A função está escrita em forma fatorada: f(x)=(x+1)^{2}(x-1)^{3}.
  • O intervalo de interesse é [0,2].
  • A questão pede apenas se a afirmação sobre o número de mudanças de sinal (duas) nesse intervalo é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Identificar as raízes (zeros) da função e suas multiplicidades. Como a função já está fatorada:
  • Há uma raiz em x=-1 com multiplicidade 2 (porque aparece o fator (x+1)^{2}).
  • Há uma raiz em x=1 com multiplicidade 3 (porque aparece o fator (x-1)^{3}).
    Essas são todas as raízes (polinômio de grau 5 com esses fatores).

Passo 3

Explicar como a multiplicidade da raiz afeta a mudança de sinal (mini-aula):
  • Se um fator (x-a)^{k} tem k par, então ao redor de x=a esse fator é sempre não negativo e não muda de sinal quando se atravessa a (o gráfico toca o eixo e volta do mesmo lado). Exemplo: (x-1)^{2} é sempre \ge 0 e não muda de sinal ao passar por x=1.
  • Se k for ímpar, o fator (x-a)^{k} muda de sinal ao atravessar x=a (o gráfico cruza o eixo). Exemplo: (x-1)^{3} é negativo para x<1 e positivo para x>1.
    Portanto, raízes de multiplicidade par não produzem mudança de sinal; raízes de multiplicidade ímpar produzem mudança de sinal.

Passo 4

Determinar quais raízes estão dentro do intervalo [0,2]. Das raízes encontradas:
  • x=-1 está fora do intervalo [0,2].
  • x=1 está dentro do intervalo [0,2] e tem multiplicidade 3 (ímpar).
    Logo, dentro de [0,2] há exatamente uma raiz e ela tem multiplicidade ímpar, o que indica pelo item anterior que a função muda de sinal em x=1.

Passo 5

Verificar o sinal da função à esquerda e à direita de x=1 para contar as mudanças de sinal:
  • O fator (x+1)^{2} é sempre positivo para todo x (positivo exceto zero em x=-1, que está fora do intervalo), porque é uma potência par.
  • Assim, o sinal de f(x) é o mesmo do sinal de (x-1)^{3}.
    Para x\in(0,1) temos x-1<0, logo (x-1)^{3}<0 e f(x)<0.
    Para x\in(1,2] temos x-1>0, logo (x-1)^{3}>0 e f(x)>0.
    Portanto f é negativa em (0,1) e positiva em (1,2]: há exatamente uma mudança de sinal em x=1.

Passo 6

Conclusão final sobre a afirmação do enunciado: a função não muda de sinal duas vezes em [0,2]; muda de sinal apenas uma vez (em x=1). Logo a afirmação é falsa.

Resposta

Falsa

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