Classifique em verdadeira ou falsa
a função
muda de sinal duas vezes no intervalo [ 0,2 ]
a função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para classificar como verdadeira ou falsa a afirmação: "a função
muda de sinal duas vezes no intervalo
".
Informações relevantes que temos do enunciado:
Informações relevantes que temos do enunciado:
- A função está escrita em forma fatorada:
. - O intervalo de interesse é
. - A questão pede apenas se a afirmação sobre o número de mudanças de sinal (duas) nesse intervalo é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Identificar as raízes (zeros) da função e suas multiplicidades. Como a função já está fatorada:
- Há uma raiz em
com multiplicidade (porque aparece o fator ). - Há uma raiz em
com multiplicidade (porque aparece o fator ).
Essas são todas as raízes (polinômio de graucom esses fatores).
Passo 3
Explicar como a multiplicidade da raiz afeta a mudança de sinal (mini-aula):
- Se um fator
tem par, então ao redor de esse fator é sempre não negativo e não muda de sinal quando se atravessa (o gráfico toca o eixo e volta do mesmo lado). Exemplo: é sempre e não muda de sinal ao passar por . - Se
for ímpar, o fator muda de sinal ao atravessar (o gráfico cruza o eixo). Exemplo: é negativo para e positivo para .
Portanto, raízes de multiplicidade par não produzem mudança de sinal; raízes de multiplicidade ímpar produzem mudança de sinal.
Passo 4
Determinar quais raízes estão dentro do intervalo
. Das raízes encontradas:
-
está fora do intervalo . -
está dentro do intervalo e tem multiplicidade (ímpar).
Logo, dentro dehá exatamente uma raiz e ela tem multiplicidade ímpar, o que indica pelo item anterior que a função muda de sinal em .
Passo 5
Verificar o sinal da função à esquerda e à direita de
para contar as mudanças de sinal:
- O fator
é sempre positivo para todo (positivo exceto zero em , que está fora do intervalo), porque é uma potência par. - Assim, o sinal de
é o mesmo do sinal de .
Paratemos , logo e .
Paratemos , logo e .
Portantoé negativa em e positiva em : há exatamente uma mudança de sinal em .
Passo 6
Conclusão final sobre a afirmação do enunciado: a função não muda de sinal duas vezes em
; muda de sinal apenas uma vez (em
). Logo a afirmação é falsa.
Resposta
Falsa