Classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) as afirmações abaixo.
(a) ( )
(b) ( )
(c) ( )
(d) ( )
(e) ( )
(f) ( )
(g) ( )
(h) ( ) $\int \operatorname{sen}(u) d u=\cos (u)+c
(a) ( )
(b) ( )
(c) ( )
(d) ( )
(e) ( )
(f) ( )
(g) ( )
(h) ( ) $\int \operatorname{sen}(u) d u=\cos (u)+c
Passo 1
O enunciado pede que eu classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das afirmações (a)–(h) sobre integrais indefinidas. As afirmações dadas são:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
O objetivo é, para cada item, decidir V ou F e explicar por que, mostrando a ideia de antiderivada e verificando por diferenciação quando necessário.
Passo 2
Conceito importante (mini-aula): integral indefinida e antiderivada.
- Por definição, uma função
é uma antiderivada de se . - A integral indefinida
representa o conjunto de todas as antiderivadas de , i.e. , onde é a constante de integração. - Método prático para verificar uma proposição: se a afirmação diz que
é a integral de , basta derivar ; se então a afirmação é verdadeira, senão é falsa.
Vou aplicar esse raciocínio a cada item: proponho a antiderivada indicada e diferencio para ver se volto à função integranda.
Passo 3
Item (a):
.
- Lembrando a derivada padrão:
. - Então a função
tem derivada , logo é uma antiderivada de . - Conclusão para (a): a afirmação é verdadeira.
Passo 4
Item (b):
.
- Observação:
significa . - Derivada de
é , porque . - Portanto
é uma antiderivada de , logo . - Conclusão para (b): a afirmação é verdadeira.
Passo 5
Item (c):
.
- Saber a derivada:
. - Portanto
é antiderivada de . - Conclusão para (c): a afirmação é verdadeira.
Passo 6
Item (d):
.
- Verifico diferenciando a função proposta
. - Uso da regra do produto:
. - Isso não é igual a
(a integranda); então não é antiderivada de . - A antiderivada correta de
é , porque . - Conclusão para (d): a afirmação é falsa.
Passo 7
Item (e):
.
- Regra do poder (fórmula correta): para
, - Verificação rápida: derivando
obtém-se . - A proposta do enunciado tem denominação errada: colocou
no denominador em vez de . - Observação sobre o caso
: aí a fórmula falha porque dividir por zero; para tem-se . - Conclusão para (e): a afirmação é falsa.
Passo 8
Item (f):
.
- Derivada do logaritmo natural absoluto:
para . - Portanto
é antiderivada de . - A presença do valor absoluto
é importante para cobrir e . - Conclusão para (f): a afirmação é verdadeira.
Passo 9
Item (g):
.
- Derivada da função exponencial de base
: . - Logo uma antiderivada de
é , porque ao derivar esse quociente multiplica-se por e volta-se a . - A condição
é necessária para que esteja definido no real; evita (divisão por zero). - Conclusão para (g): a afirmação é verdadeira.
Passo 10
Item (h):
.
- Derivada de
é . - Isso significa que
tem derivada negativa de , então não é antiderivada de . - A antiderivada correta de
é , pois . - Conclusão para (h): a afirmação é falsa.
Resposta
(a) V
(b) V
(c) V
(d) F
(e) F
(f) V
(g) V
(h) F
(b) V
(c) V
(d) F
(e) F
(f) V
(g) V
(h) F