Classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) as afirmações abaixo.
(a) ( ) \int \cos (u) d u=\operatorname{sen}(u)+c
(b) ( ) \int d u=u+c
(c) ( ) \int \operatorname{sec} ^{2}(u) d u=\operatorname{tg}(u)+c
(d) ( ) \int e^{u} d u=u e^{u}+c
(e) ( ) \int u^{n} d u=\frac{u^{n+1}}{n}+c, n \neq-1
(f) ( ) \int \frac{d u}{u}=\ln |u|+c
(g) ( ) \int a^{u} d u=\frac{a^{u}}{\ln a}+c, a>0, a \neq 1
(h) ( ) $\int \operatorname{sen}(u) d u=\cos (u)+c

Passo 1

O enunciado pede que eu classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das afirmações (a)–(h) sobre integrais indefinidas. As afirmações dadas são:
(a) \displaystyle \int \cos(u)\,du=\operatorname{sen}(u)+c
(b) \displaystyle \int du = u + c
(c) \displaystyle \int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du=\operatorname{tg}(u)+c
(d) \displaystyle \int e^{u}\,du=u e^{u}+c
(e) \displaystyle \int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n}+c,\; n\neq -1
(f) \displaystyle \int \frac{du}{u}=\ln|u|+c
(g) \displaystyle \int a^{u}\,du=\frac{a^{u}}{\ln a}+c,\; a>0,\; a\neq 1
(h) \displaystyle \int \operatorname{sen}(u)\,du=\cos(u)+c
O objetivo é, para cada item, decidir V ou F e explicar por que, mostrando a ideia de antiderivada e verificando por diferenciação quando necessário.

Passo 2

Conceito importante (mini-aula): integral indefinida e antiderivada.
  • Por definição, uma função F(u) é uma antiderivada de f(u) se \displaystyle F'(u)=f(u).
  • A integral indefinida \displaystyle \int f(u)\,du representa o conjunto de todas as antiderivadas de f, i.e. \displaystyle \int f(u)\,du=F(u)+c, onde c é a constante de integração.
  • Método prático para verificar uma proposição: se a afirmação diz que F(u)+c é a integral de f(u), basta derivar F(u); se \,F'(u)=f(u) então a afirmação é verdadeira, senão é falsa.
Vou aplicar esse raciocínio a cada item: proponho a antiderivada indicada e diferencio para ver se volto à função integranda.

Passo 3

Item (a): \displaystyle \int \cos(u)\,du=\operatorname{sen}(u)+c.
  • Lembrando a derivada padrão: \dfrac{d}{du}\!\big(\operatorname{sen}(u)\big)=\cos(u).
  • Então a função \operatorname{sen}(u) tem derivada \cos(u), logo é uma antiderivada de \cos(u).
  • Conclusão para (a): a afirmação é verdadeira.

Passo 4

Item (b): \displaystyle \int du = u + c.
  • Observação: \displaystyle \int du significa \displaystyle \int 1\,du.
  • Derivada de \,u é \,1, porque \dfrac{d}{du}(u)=1.
  • Portanto \,u é uma antiderivada de 1, logo \displaystyle \int 1\,du = u + c.
  • Conclusão para (b): a afirmação é verdadeira.

Passo 5

Item (c): \displaystyle \int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du=\operatorname{tg}(u)+c.
  • Saber a derivada: \dfrac{d}{du}\!\big(\operatorname{tg}(u)\big)=\operatorname{sec}^{2}(u).
  • Portanto \operatorname{tg}(u) é antiderivada de \operatorname{sec}^{2}(u).
  • Conclusão para (c): a afirmação é verdadeira.

Passo 6

Item (d): \displaystyle \int e^{u}\,du=u e^{u}+c.
  • Verifico diferenciando a função proposta F(u)=u e^{u}.
  • Uso da regra do produto: \dfrac{d}{du}\big(u e^{u}\big)=1\cdot e^{u}+u\cdot e^{u}=e^{u}(1+u).
  • Isso não é igual a e^{u} (a integranda); então u e^{u} não é antiderivada de e^{u}.
  • A antiderivada correta de e^{u} é \;e^{u}, porque \dfrac{d}{du}(e^{u})=e^{u}.
  • Conclusão para (d): a afirmação é falsa.

Passo 7

Item (e): \displaystyle \int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n}+c,\; n\neq -1.
  • Regra do poder (fórmula correta): para \,n\neq -1, \displaystyle \int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+c.
  • Verificação rápida: derivando \dfrac{u^{n+1}}{n+1} obtém-se u^{n}.
  • A proposta do enunciado tem denominação errada: colocou n no denominador em vez de n+1.
  • Observação sobre o caso n=-1: aí a fórmula falha porque dividir por zero; para n=-1 tem-se \displaystyle \int u^{-1}\,du=\ln|u|+c.
  • Conclusão para (e): a afirmação é falsa.

Passo 8

Item (f): \displaystyle \int \frac{du}{u}=\ln|u|+c.
  • Derivada do logaritmo natural absoluto: \dfrac{d}{du}\big(\ln|u|\big)=\dfrac{1}{u} para u\neq 0.
  • Portanto \ln|u| é antiderivada de 1/u.
  • A presença do valor absoluto |u| é importante para cobrir u<0 e u>0.
  • Conclusão para (f): a afirmação é verdadeira.

Passo 9

Item (g): \displaystyle \int a^{u}\,du=\frac{a^{u}}{\ln a}+c,\; a>0,\; a\neq 1.
  • Derivada da função exponencial de base a: \dfrac{d}{du}\big(a^{u}\big)=a^{u}\ln a.
  • Logo uma antiderivada de a^{u} é \dfrac{a^{u}}{\ln a}, porque ao derivar esse quociente multiplica-se por \ln a e volta-se a a^{u}.
  • A condição a>0 é necessária para que \ln a esteja definido no real; a\neq 1 evita \ln a=0 (divisão por zero).
  • Conclusão para (g): a afirmação é verdadeira.

Passo 10

Item (h): \displaystyle \int \operatorname{sen}(u)\,du=\cos(u)+c.
  • Derivada de \cos(u) é \dfrac{d}{du}\big(\cos(u)\big)=-\sin(u).
  • Isso significa que \cos(u) tem derivada negativa de \sin(u), então \cos(u) não é antiderivada de \sin(u).
  • A antiderivada correta de \sin(u) é -\cos(u), pois \dfrac{d}{du}\big(-\cos(u)\big)=\sin(u).
  • Conclusão para (h): a afirmação é falsa.

Resposta

(a) V
(b) V
(c) V
(d) F
(e) F
(f) V
(g) V
(h) F

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