3ª Questão: (4,0 pontos)
O tântalo possui uma estrutura cristalina cúbica de corpo centrada com parâmetro de rede igual a 3,3058 Å Esse material foi caracterizado por difração de raios X utilizando uma fonte de cobre de comprimento de onda igual a 1,5405 Å.
Calcule os ângulos relativos aos 5 (cinco) primeiros picos de difração de raios
que aparece no difratograma característico dessa amostra.
Passo 1
Dados fornecidos:
- Parâmetro de rede do cristal cúbico de corpo centrado:
. - Comprimento de onda da fonte de cobre:
.
O enunciado pede:
- Calcular os ângulos relativos aos 5 (cinco) primeiros picos de difração que aparecem no difratograma da amostra.
Observação importante (para interpretar corretamente o pedido): num difratograma de raiosa convenção usual é plotar a intensidade em função do ângulo . Portanto vou fornecer as posições dos picos em termos de .
Passo 2
Fundamentos que vamos usar (com explicações didáticas simples):
- Lei de Bragg:
Explicação: quando raios incidem sobre planos cristalinos separados por distância , interferência construtiva (pico de difração) ocorre para ângulos que satisfazem essa igualdade. Aqui é o ângulo entre o feixe incidente e o plano cristalino; no difratograma usa-se (o detector gira o dobro). - Variáveis:
= distância entre planos de reticulado; = ângulo de Bragg; = comprimento de onda.
- Variáveis:
- Para rede cúbica qualquer plano
tem espaçamento Explicação: em redes cúbicas, o espaçamento entre planos depende só do parâmetro de rede e do quadrado das componentes de Miller . - Combinar as duas fórmulas dá:
Para facilitar, definimos e um fator constante Assim - Regra de seleção para rede cúbica de corpo centrado (bcc): só aparecem reflexões cujos índices
satisfazem par (ou seja, pares — soma par). Em termos de : entre os possíveis, apenas aqueles correspondentes a planos com par geram picos.
Passo 3
Identificação dos cinco primeiros picos (fase de escolha dos planos):
- Vamos listar
em ordem crescente e aceitar somente aqueles com par. - Primeiros valores de
(comumente usados) e um exemplo de índices : -
: , soma ímpar → proibido para bcc. -
: , soma par → permitido. (1º pico) -
: , soma ímpar → proibido. -
: , soma par → permitido. (2º pico) -
: por exemplo, soma ímpar → proibido. -
: , soma par → permitido. (3º pico) -
: (ex.: tem , então não aparece como inteiro de típico) — pulo. -
: , soma par → permitido. (4º pico) -
: tem mas soma ímpar → proibido; tem soma ímpar → proibido. -
: ou tem ; soma par → permitido. (5º pico)
-
- Conclusão: os cinco primeiros picos (em ordem crescente de ângulo) correspondem a:
-
com -
com -
com -
com -
com
-
Passo 4
Cálculo do fator constante
e dos
:
- Calcular
: Explicação: esse é o fator que multiplica para obter . - Para cada
calculamos , depois e finalmente (posição no difratograma).
Passo 5
Cálculos numéricos passo a passo para cada pico (vou mostrar as contas intermediárias):
- Para
, :
Portanto
- Para
, :
Portanto
- Para
, :
Portanto
- Para
, :
Portanto
- Para
, :
Portanto
Observação prática: para transformar
em
use uma calculadora científica ou tabelas trigonométricas; nas provas normalmente é aceitável o uso de calculadora para essa etapa.