3ª Questão: (4,0 pontos)
O tântalo possui uma estrutura cristalina cúbica de corpo centrada com parâmetro de rede igual a 3,3058 Å Esse material foi caracterizado por difração de raios X utilizando uma fonte de cobre de comprimento de onda igual a 1,5405 Å.
Calcule os ângulos relativos aos 5 (cinco) primeiros picos de difração de raios X que aparece no difratograma característico dessa amostra.

Passo 1

Dados fornecidos:
  • Parâmetro de rede do cristal cúbico de corpo centrado: a=3{,}3058\\ \text{\AA}.
  • Comprimento de onda da fonte de cobre: \lambda=1{,}5405\\ \text{\AA}.
O enunciado pede:
  • Calcular os ângulos relativos aos 5 (cinco) primeiros picos de difração que aparecem no difratograma da amostra.
    Observação importante (para interpretar corretamente o pedido): num difratograma de raios X a convenção usual é plotar a intensidade em função do ângulo 2\theta. Portanto vou fornecer as posições dos picos em termos de 2\theta.

Passo 2

Fundamentos que vamos usar (com explicações didáticas simples):
  • Lei de Bragg: 2d\sin\theta=\lambda.Explicação: quando raios X incidem sobre planos cristalinos separados por distância d, interferência construtiva (pico de difração) ocorre para ângulos \theta que satisfazem essa igualdade. Aqui \theta é o ângulo entre o feixe incidente e o plano cristalino; no difratograma usa-se 2\theta (o detector gira o dobro).
    • Variáveis: d = distância entre planos de reticulado; \theta = ângulo de Bragg; \lambda = comprimento de onda.
  • Para rede cúbica qualquer plano (hkl) tem espaçamento d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}}}.Explicação: em redes cúbicas, o espaçamento entre planos depende só do parâmetro de rede a e do quadrado das componentes de Miller h,k,l.
  • Combinar as duas fórmulas dá: 2\frac{a}{\sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}}}\sin\theta=\lambda \quad\Rightarrow\quad \sin\theta=\frac{\lambda}{2a}\sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}}.Para facilitar, definimos N=h^{2}+k^{2}+l^{2} e um fator constante s\equiv\frac{\lambda}{2a}.Assim \sin\theta=s\sqrt{N}.
  • Regra de seleção para rede cúbica de corpo centrado (bcc): só aparecem reflexões cujos índices h,k,l satisfazem h+k+l par (ou seja, pares — soma par). Em termos de N: entre os N possíveis, apenas aqueles correspondentes a planos com h+k+l par geram picos.

Passo 3

Identificação dos cinco primeiros picos (fase de escolha dos planos):
  • Vamos listar N=h^{2}+k^{2}+l^{2} em ordem crescente e aceitar somente aqueles com h+k+l par.
  • Primeiros valores de N (comumente usados) e um exemplo de índices (hkl):
    • N=1: (100), soma 1 ímpar → proibido para bcc.
    • N=2: (110), soma 1+1+0=2 par → permitido. (1º pico)
    • N=3: (111), soma 3 ímpar → proibido.
    • N=4: (200), soma 2+0+0=2 par → permitido. (2º pico)
    • N=5: (210) por exemplo, soma 2+1+0=3 ímpar → proibido.
    • N=6: (211), soma 2+1+1=4 par → permitido. (3º pico)
    • N=7: (ex.: (221) tem N=9, então 7 não aparece como inteiro de h^2+k^2+l^2 típico) — pulo.
    • N=8: (220), soma 2+2+0=4 par → permitido. (4º pico)
    • N=9: (300) tem N=9 mas (300) soma 3+0+0=3 ímpar → proibido; (221) tem N=9 soma 2+2+1=5 ímpar → proibido.
    • N=10: (310) ou (321) tem N=10; (310) soma 3+1+0=4 par → permitido. (5º pico)
  • Conclusão: os cinco primeiros picos (em ordem crescente de ângulo) correspondem a:
    1. (110) com N=2
    2. (200) com N=4
    3. (211) com N=6
    4. (220) com N=8
    5. (310) com N=10

Passo 4

Cálculo do fator constante s e dos \sin\theta:
  • Calcular s=\dfrac{\lambda}{2a}: s=\frac{1{,}5405}{2\cdot 3{,}3058}=\frac{1{,}5405}{6{,}6116}\approx 0{,}2329997.Explicação: esse é o fator que multiplica \sqrt{N} para obter \sin\theta.
  • Para cada N calculamos \sin\theta = s\sqrt{N}, depois \theta=\arcsin(\sin\theta) e finalmente 2\theta (posição no difratograma).

Passo 5

Cálculos numéricos passo a passo para cada pico (vou mostrar as contas intermediárias):
  1. Para (110), N=2: \sqrt{N}=\sqrt{2}=1{,}4142136,
\sin\theta = s\sqrt{2} \approx 0{,}2329997\times 1{,}4142136 \approx 0{,}3295108.
\theta=\arcsin(0{,}3295108)\approx 19{,}2438^\circ.
Portanto 2\theta \approx 38{,}4876^\circ.
  1. Para (200), N=4: \sqrt{N}=2,
\sin\theta = s\cdot 2 \approx 0{,}2329997\times 2 = 0{,}4659994.
\theta=\arcsin(0{,}4659994)\approx 27{,}7861^\circ.
Portanto 2\theta \approx 55{,}5722^\circ.
  1. Para (211), N=6: \sqrt{N}=\sqrt{6}=2{,}4494897,
\sin\theta \approx 0{,}2329997\times 2{,}4494897 \approx 0{,}5707311.
\theta=\arcsin(0{,}5707311)\approx 34{,}7876^\circ.
Portanto 2\theta \approx 69{,}5752^\circ.
  1. Para (220), N=8: \sqrt{N}=\sqrt{8}=2{,}8284271,
\sin\theta \approx 0{,}2329997\times 2{,}8284271 \approx 0{,}6590219.
\theta=\arcsin(0{,}6590219)\approx 41{,}1533^\circ.
Portanto 2\theta \approx 82{,}3067^\circ.
  1. Para (310), N=10: \sqrt{N}=\sqrt{10}=3{,}1622777,
\sin\theta \approx 0{,}2329997\times 3{,}1622777 \approx 0{,}7368088.
\theta=\arcsin(0{,}7368088)\approx 47{,}4630^\circ.
Portanto 2\theta \approx 94{,}9260^\circ.
Observação prática: para transformar \sin\theta em \theta use uma calculadora científica ou tabelas trigonométricas; nas provas normalmente é aceitável o uso de calculadora para essa etapa.

Resposta

(110): 2\theta \approx 38{,}49^\circ
(200): 2\theta \approx 55{,}57^\circ
(211): 2\theta \approx 69{,}58^\circ
(220): 2\theta \approx 82{,}31^\circ
(310): 2\theta \approx 94{,}93^\circ

Exercícios relacionados