Use cortes(intersecção com planos) para esboçar e identificar as superfícies:
x^{2}-y^{2}+z^{2}-4 x-2 y-2 z+4=0

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida pela equação
x^{2}-y^{2}+z^{2}-4x-2y-2z+4=0
e pede que a esbocemos e identifiquemos a superfície usando cortes com planos. Informações dadas que vamos usar explicitamente:
  • A equação inteira da superfície (acima).
  • As variáveis são x, y, z.
    O objetivo é transformar essa equação em uma forma mais simples (fazendo completações de quadrado), e depois estudar intersecções com planos como y=c, x=k, z=k para entender a forma geométrica.

Passo 2

Primeiro passo técnico: completar quadrados nas variáveis x, y e z. Vou agrupar termos por variável:
x^{2}-4x \quad,\qquad -y^{2}-2y \quad,\qquad z^{2}-2z,
e manter o constante +4. Agora completo o quadrado para cada grupo:
Para x:
x^{2}-4x = (x-2)^{2}-4.
Para y:
-y^{2}-2y = -\bigl(y^{2}+2y\bigr) = -\bigl((y+1)^{2}-1\bigr) = -(y+1)^{2}+1.
Para z:
z^{2}-2z = (z-1)^{2}-1.
Agora substituo tudo de volta na equação original:
\bigl((x-2)^{2}-4\bigr) + \bigl(-(y+1)^{2}+1\bigr) + \bigl((z-1)^{2}-1\bigr) + 4 = 0.

Passo 3

Simplifico as constantes:
-4 + 1 -1 + 4 = 0,
logo as constantes se anulam e sobra apenas a soma dos quadrados completos:
(x-2)^{2} - (y+1)^{2} + (z-1)^{2} = 0.
Rearranjando,
(x-2)^{2} + (z-1)^{2} = (y+1)^{2}.
Esta é a forma canônica que facilita a classificação. Para ficar ainda mais claro, faço uma mudança de coordenadas centrando no ponto (2,-1,1):
u = x-2,\qquad v = y+1,\qquad w = z-1.
Na nova notação a equação fica
u^{2} + w^{2} = v^{2}.

Passo 4

Interpretação imediata da forma u^{2}+w^{2}=v^{2}: trata-se do cone duplo circular com vértice na origem do sistema (u,v,w). Voltando às coordenadas originais, o vértice é o ponto
(2,-1,1).
Explicação geométrica simples: para cada valor de v (isto é, para cada y), a soma dos quadrados em u e w é igual a v^{2}, o que sugere círculos de raio |v| no plano perpendicular ao eixo v. Como v=y+1, o eixo do cone é paralelo ao eixo y original.

Passo 5

Agora uso cortes com planos para visualizar a superfície (isso é o que o enunciado pede explicitamente).
Corte por y=c. Substituo y=c na forma centrada:
(x-2)^{2} + (z-1)^{2} = (c+1)^{2}.
  • Se c\neq -1 então a interseção é um círculo de centro (2,c,1) e raio |c+1|.
  • Se c=-1 então a igualdade é (x-2)^{2}+(z-1)^{2}=0, ou seja só o ponto (2,-1,1): o vértice do cone.
    Isto mostra que planos paralelos ao plano xz cortam o cone em círculos (ou no vértice).

Passo 6

Corte por x=k. Substituo x=k em (x-2)^{2} - (y+1)^{2} + (z-1)^{2}=0 e reorganizo:
(z-1)^{2} - (y+1)^{2} = -(k-2)^{2}.
Multiplicando por -1,
(y+1)^{2} - (z-1)^{2} = (k-2)^{2}.
Isto é a equação de uma hipérbole (no plano x=k) sempre que (k-2)^{2}>0. Caso especial: para k=2 (plano x=2) a constante do lado direito é zero e a equação fica
(y+1)^{2} - (z-1)^{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad y+1 = \pm (z-1),
que são duas retas que se cruzam no vértice. Portanto planos verticais x=const cortam o cone em hipérboles (ou em um par de retas quando passam pelo vértice).

Passo 7

Corte por z=k. De maneira análoga obtemos
(x-2)^{2} - (y+1)^{2} = -(k-1)^{2},
ou
(y+1)^{2} - (x-2)^{2} = (k-1)^{2},
que também é uma hipérbole no plano z=k (com caso especial k=1 dando duas retas pelo vértice). Conclusão: planos verticais que contenham a direção y cortam o cone em hipérboles; aqueles que passam pelo vértice geram pares de retas.

Passo 8

Mostro explicitamente que a superfície é gerada por retas (isso ajuda a visualizar o cone). Usando coordenadas (u,w,v) com
u^{2}+w^{2}=v^{2},
escrevo u = t\cos\theta,\; w = t\sin\theta (coordenadas polares no plano u\!-\!w). Então
v = \pm t.
Daí as retas geradoras, em coordenadas originais, são
x = 2 + t\cos\theta,\qquad y = -1 \pm t,\qquad z = 1 + t\sin\theta,
com t\in\mathbb{R} e \theta fixo. Isso mostra que, para cada direção \theta no plano xz, existem duas retas passando pelo vértice que geram o cone (uma para + e outra para -), característica de um cone duplo e regulado por retas.

Passo 9

Análise do ângulo de abertura: da forma u^{2}+w^{2}=v^{2} tem-se \dfrac{v^{2}}{u^{2}+w^{2}}=1. Isso significa que, ao longo de uma geratriz, a componente v aumenta na mesma taxa que a distância radial \sqrt{u^{2}+w^{2}}. Geometricamente isso corresponde a um ângulo de meia‑abertura de 45^\circ entre o eixo v (isto é, direção paralela a y) e as geratrizes do cone.

Resposta

A superfície é um cone circular duplo (cone circular reto) com vértice em (2,-1,1), eixo paralelo ao eixo y, com equação centrada (x-2)^{2}+(z-1)^{2}=(y+1)^{2}; cortes y=c são círculos de centro (2,c,1) e raio |c+1|; cortes x=const e z=const são hipérboles (com pares de retas quando o plano passa pelo vértice).

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