Use cortes(intersecção com planos) para esboçar e identificar as superfícies:
Passo 1
O enunciado dá a superfície definida pela equação
e pede que a esbocemos e identifiquemos a superfície usando cortes com planos. Informações dadas que vamos usar explicitamente:
- A equação inteira da superfície (acima).
- As variáveis são
, , .
O objetivo é transformar essa equação em uma forma mais simples (fazendo completações de quadrado), e depois estudar intersecções com planos como, , para entender a forma geométrica.
Passo 2
Primeiro passo técnico: completar quadrados nas variáveis
,
e
. Vou agrupar termos por variável:
e manter o constante
. Agora completo o quadrado para cada grupo:
Para
:
Para
:
Para
:
Agora substituo tudo de volta na equação original:
Passo 3
Simplifico as constantes:
logo as constantes se anulam e sobra apenas a soma dos quadrados completos:
Rearranjando,
Esta é a forma canônica que facilita a classificação. Para ficar ainda mais claro, faço uma mudança de coordenadas centrando no ponto
:
Na nova notação a equação fica
Passo 4
Interpretação imediata da forma
: trata-se do cone duplo circular com vértice na origem do sistema
. Voltando às coordenadas originais, o vértice é o ponto
Explicação geométrica simples: para cada valor de
(isto é, para cada
), a soma dos quadrados em
e
é igual a
, o que sugere círculos de raio
no plano perpendicular ao eixo
. Como
, o eixo do cone é paralelo ao eixo
original.
Passo 5
Agora uso cortes com planos para visualizar a superfície (isso é o que o enunciado pede explicitamente).
Corte por
. Substituo
na forma centrada:
- Se
então a interseção é um círculo de centro e raio . - Se
então a igualdade é , ou seja só o ponto : o vértice do cone.
Isto mostra que planos paralelos ao planocortam o cone em círculos (ou no vértice).
Passo 6
Corte por
. Substituo
em
e reorganizo:
Multiplicando por
,
Isto é a equação de uma hipérbole (no plano
) sempre que
. Caso especial: para
(plano
) a constante do lado direito é zero e a equação fica
que são duas retas que se cruzam no vértice. Portanto planos verticais
const cortam o cone em hipérboles (ou em um par de retas quando passam pelo vértice).
Passo 7
Corte por
. De maneira análoga obtemos
ou
que também é uma hipérbole no plano
(com caso especial
dando duas retas pelo vértice). Conclusão: planos verticais que contenham a direção
cortam o cone em hipérboles; aqueles que passam pelo vértice geram pares de retas.
Passo 8
Mostro explicitamente que a superfície é gerada por retas (isso ajuda a visualizar o cone). Usando coordenadas
com
escrevo
(coordenadas polares no plano
). Então
Daí as retas geradoras, em coordenadas originais, são
com
e
fixo. Isso mostra que, para cada direção
no plano
, existem duas retas passando pelo vértice que geram o cone (uma para
e outra para
), característica de um cone duplo e regulado por retas.
Passo 9
Análise do ângulo de abertura: da forma
tem-se
. Isso significa que, ao longo de uma geratriz, a componente
aumenta na mesma taxa que a distância radial
. Geometricamente isso corresponde a um ângulo de meia‑abertura de
entre o eixo
(isto é, direção paralela a
) e as geratrizes do cone.
Resposta
A superfície é um cone circular duplo (cone circular reto) com vértice em
, eixo paralelo ao eixo
, com equação centrada
; cortes
são círculos de centro
e raio
; cortes
const e
const são hipérboles (com pares de retas quando o plano passa pelo vértice).