Classifique como verdadeiro (V) ou falso (F): (no caso de falso dê um contraexemplo)
a. ( ) Por um ponto passam infinitas retas.
b. ( ) Uma reta contém dois pontos distintos.
c. ( ) Dois pontos distintos determinam uma e só uma reta.
d. ( ) Três pontos distintos são sempre colineares.
e. ( ) Quatro pontos todos distintos determinam duas retas.
f. ( ) Se dois segmentos são colineares, então eles são consecutivos.
g. ( ) Se dois segmentos são adjacentes, então eles são consecutivos.
h. ( ) Se dois segmentos são consecutivos, então eles são adjacentes.
i. ( ) Dois ângulos consecutivos são adjacentes.
j. ( ) Dois ângulos opostos pelo vértice são adjacentes.
k. ( ) Dois ângulos complementares são adjacentes.
( ) Dois ângulos adjacentes são suplementares.
Passo 1
O enunciado pede: classificar cada uma das 12 afirmações como verdadeira (V) ou falsa (F). Para cada afirmação que for falsa, devo fornecer um contraexemplo. Vou listar as 12 afirmações exatamente como foram dadas (a até 1.) para não me perder:
a. Por um ponto passam infinitas retas.
b. Uma reta contém dois pontos distintos.
c. Dois pontos distintos determinam uma e só uma reta.
d. Três pontos distintos são sempre colineares.
e. Quatro pontos todos distintos determinam duas retas.
f. Se dois segmentos são colineares, então eles são consecutivos.
g. Se dois segmentos são adjacentes, então eles são consecutivos.
h. Se dois segmentos são consecutivos, então eles são adjacentes.
i. Dois ângulos consecutivos são adjacentes.
j. Dois ângulos opostos pelo vértice são adjacentes.
k. Dois ângulos complementares são adjacentes.
Dois ângulos adjacentes são suplementares.
A partir do Passo 2 eu vou analisar cada afirmação separadamente, explicando os conceitos usados (ponto, reta, segmento, colinearidade, consecutivos, adjacentes, ângulos opostos pelo vértice, complementares, suplementares) e, quando a afirmação for falsa, apresentarei um contraexemplo explícito com números coordenados ou desenhos imaginários fáceis de visualizar.
Passo 2
a. Afirmação: “Por um ponto passam infinitas retas.”
Explicação e raciocínio: um ponto fixo P no plano pode ser unido a qualquer outra direção para formar uma reta que passe por P. Formalmente, cada inclinação (ou cada vetor diretor) diferente gera uma reta distinta que contém P. Não há limite finito de direções no plano: há uma família contínua de retas passando por P.
Conclusão: a afirmação é verdadeira.
Passo 3
b. Afirmação: “Uma reta contém dois pontos distintos.”
Explicação e raciocínio: por definição geométrica, uma reta tem infinitos pontos; portanto ela contém pelo menos dois pontos distintos. Mais forte: contém infinitos pontos, então conter dois é obrigatório. Um exemplo concreto: a reta y=0 contém (0,0) e (1,0).
Conclusão: a afirmação é verdadeira.
Passo 4
c. Afirmação: “Dois pontos distintos determinam uma e só uma reta.”
Explicação e raciocínio: este é um axioma básico da geometria euclidiana: dados dois pontos distintos A e B existe pelo menos uma reta que passa por ambos; e não podem existir duas retas diferentes passando pelos mesmos dois pontos, pois duas retas que têm dois pontos em comum coincidem. Argumento simples: se houvesse duas retas distintas r_1 e r_2 contendo A e B, então teriam pelo menos dois pontos em comum, o que contradiz a propriedade de retas distintas (duas retas distintas se interceptam em no máximo um ponto).
Conclusão: a afirmação é verdadeira.
Passo 5
d. Afirmação: “Três pontos distintos são sempre colineares.”
Explicação e raciocínio: três pontos são colineares se pertencem todos à mesma reta. Mas não é obrigatório que três pontos distintos fiquem sobre a mesma reta: pense nos vértices de um triângulo. Contraexemplo concreto: os pontos A=(0,0), B=(1,0) e C=(0,1) são distintos e não estão na mesma reta (os três não pertencem a uma mesma reta).
Conclusão: a afirmação é falsa. Contraexemplo: A=(0,0),\;B=(1,0),\;C=(0,1).
Passo 6
e. Afirmação: “Quatro pontos todos distintos determinam duas retas.”
Explicação e raciocínio: quatro pontos distintos podem gerar várias configurações. Se os quatro estiverem em posição geral (nenhum três colineares) então cada par de pontos determina uma reta distinta e o número de retas formadas por pares é \binom{4}{2}=6. Se todos os quatro estiverem na mesma reta, então há apenas uma reta que os contém. Se três estiverem numa reta e o quarto fora, haverá outras contagens. Portanto não existe uma única resposta fixa “duas retas” para todo conjunto de quatro pontos distintos. Contraexemplos: (i) Quatro pontos em posição geral: (0,0),(1,0),(0,1),(1,1) geram seis retas diferentes — logo não são só duas. (ii) Quatro pontos colineares, por exemplo (0,0),(1,0),(2,0),(3,0), geram apenas uma reta — também não são duas.
Conclusão: a afirmação é falsa. Contraexemplos: os dois dados acima.
Passo 7
Antes de analisar as afirmativas sobre segmentos, vou definir com clareza os termos que vou usar (para evitar confusão):
Dois segmentos \overline{AB} e \overline{CD} são colineares se todos os seus pontos estão sobre uma mesma reta (ou seja, as retas que contêm \overline{AB} e \overline{CD} coincidem).
Dois segmentos são consecutivos quando têm um extremo em comum. Exemplo típico: \overline{AB} e \overline{BC} são consecutivos (têm o ponto B em comum). Esta é a definição que vou usar a seguir.
Dois segmentos são adjacentes quando têm um extremo em comum e não têm pontos interiores em comum (ou seja, intersectam-se apenas naquele extremo). Em outras palavras, são consecutivos e não um contém o outro nem têm sobreposição maior que o ponto em comum.
Com estas definições claras, analiso as próximas afirmações.
Passo 8
f. Afirmação: “Se dois segmentos são colineares, então eles são consecutivos.”
Explicação e raciocínio: ser colinear significa estar sobre a mesma reta, mas não implica necessariamente ter um extremo em comum. É perfeitamente possível ter dois segmentos distintos e disjuntos sobre a mesma reta, sem pontos em comum. Contraexemplo concreto: considere \overline{AB} com A=(0,0), B=(1,0) e \overline{CD} com C=(2,0), D=(3,0). Ambos estão sobre a reta y=0 (são colineares) mas não compartilham nenhum extremo — portanto não são consecutivos.
Conclusão: a afirmação é falsa. Contraexemplo: \overline{AB} com A=(0,0),B=(1,0) e \overline{CD} com C=(2,0),D=(3,0).
Passo 9
g. Afirmação: “Se dois segmentos são adjacentes, então eles são consecutivos.”
Explicação e raciocínio: pela definição que usamos, segmentos adjacentes têm um extremo em comum e não se sobrepõem além desse ponto; portanto, ter um extremo em comum é exatamente a definição de consecutivos. Assim, adjacentes implicam consecutivos (a adjacência é uma condição mais forte). Exemplo: \overline{AB} e \overline{BC} com A, B, C não colineares podem ser adjacentes e certamente são consecutivos (compartilham B).
Conclusão: a afirmação é verdadeira.
Passo 10
h. Afirmação: “Se dois segmentos são consecutivos, então eles são adjacentes.”
Explicação e raciocínio: consecutivos apenas exige um extremo em comum; não impede que um segmento esteja contido no outro ou que tenham pontos interiores em comum. Por isso, serem consecutivos não garante que se intersectem apenas no extremo. Contraexemplo concreto: tome pontos A=(0,0),\;B=(1,0),\;C=(2,0) e considere \overline{AB} e \overline{AC}. Estes dois segmentos são consecutivos porque ambos têm o extremo A em comum. Mas \overline{AB} está contido em \overline{AC} (tem pontos interiores em comum), então eles não são adjacentes segundo a definição usada.
Conclusão: a afirmação é falsa. Contraexemplo: \overline{AB} com A=(0,0),B=(1,0) e \overline{AC} com C=(2,0).
Passo 11
i. Afirmação: “Dois ângulos consecutivos são adjacentes.”
Explicação e raciocínio: para ângulos, uma definição comum é: ângulos consecutivos são aqueles que têm um vértice comum e um lado em comum, e cujas partes internas não se sobrepõem — isto é exatamente a definição de ângulos adjacentes. Em muitas convenções escolares os termos “consecutivos” e “adjacentes” para ângulos são sinônimos. Assim, se dois ângulos são consecutivos (compartilham vértice e um lado) então eles são adjacentes (compartilham vértice, um lado e não têm interior comum). Exemplo: \angle ABC e \angle CBD são consecutivos e também são adjacentes.
Conclusão: a afirmação é verdadeira.
Passo 12
j. Afirmação: “Dois ângulos opostos pelo vértice são adjacentes.”
Explicação e raciocínio: ângulos opostos pelo vértice (também chamados ângulos verticais) são formados por duas retas que se cruzam; eles têm o mesmo vértice mas não têm um lado em comum — pelo contrário, seus lados são pares de semirretas opostas. Por exemplo, se duas retas se cruzam em O, os ângulos \angle AOB e \angle COD (vértices em O) são opostos pelo vértice, mas não têm um lado em comum, logo não são adjacentes (adjacentes exigem um lado comum). Contraexemplo/explicitação: considere as retas x- e y-axis; \angle entre eixo positivo x e eixo positivo y é oposto pelo vértice ao ângulo entre eixo negativo x e eixo negativo y; esses dois não são adjacentes.
Conclusão: a afirmação é falsa. Contraexemplo: ângulos verticais em duas retas que se cruzam (não compartilham lado).
Passo 13
k. Afirmação: “Dois ângulos complementares são adjacentes.”
Explicação e raciocínio: ângulos complementares são simplesmente dois ângulos cuja soma de medidas é 90^\circ. Nada na definição exige que compartilhem vértice ou lado. Eles podem ser adjacentes (por exemplo dois ângulos que juntos formam um ângulo de 90^\circ em volta de um vértice) ou podem ser completamente separados e em posições distintas do plano. Contraexemplo simples: um ângulo de 30^\circ localizado em um ponto do plano e outro ângulo de 60^\circ em outro vértice distante são complementares quanto às medidas, mas não são adjacentes. Mais concreto: \angle A em torno do ponto P com medida 30^\circ e \angle B em torno de Q com medida 60^\circ, com P\neq Q. Eles são complementares (as medidas somam 90^\circ) mas não são adjacentes.
Conclusão: a afirmação é falsa. Contraexemplo: dois ângulos de 30^\circ e 60^\circ com vértices diferentes.
Passo 14
Afirmação: “Dois ângulos adjacentes são suplementares.”
Explicação e raciocínio: ângulos adjacentes têm vértice comum e um lado comum; isso não garante que suas medidas somem 180^\circ. Apenas um caso especial de ângulos adjacentes é o par linear (quando as semirretas não comuns são opostas), nesse caso eles são suplementares. Mas, em geral, ângulos adjacentes podem somar qualquer valor menor que 360^\circ dependendo das medidas individuais. Contraexemplo concreto: dois ângulos adjacentes de 30^\circ e 40^\circ são adjacentes (compartilham vértice e um lado) mas não são suplementares porque 30^\circ+40^\circ=70^\circ\neq180^\circ.
Conclusão: a afirmação é falsa. Contraexemplo: ângulos adjacentes de 30^\circ e 40^\circ.
Resposta
a. V
b. V
c. V
d. F
e. F
f. F
g. V
h. F
i. V
j. F
k. F