Encontre as soluções reais das equações a seguir, caso existam:
\left(\frac{x}{2}+1\right)^{2}=\frac{9}{4}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as soluções reais da equação fornecida. As informações dadas são:
\left(\frac{x}{2}+1\right)^{2}=\frac{9}{4}.
A pergunta é: quais valores reais de x satisfazem essa igualdade?

Passo 2

Lembra da propriedade básica: para números reais, o quadrado de qualquer número é não negativo. Por isso, se tivermos uma igualdade do tipo
A^{2}=C,
e C\ge 0, então as soluções para A são
A=\pm\sqrt{C},
ou seja, duas possibilidades: A=\sqrt{C} ou A=-\sqrt{C}. Se C<0 não haveria solução real, porque um quadrado não pode ser negativo.

Passo 3

No nosso caso podemos identificar A=\dfrac{x}{2}+1 e C=\dfrac{9}{4}. Como \dfrac{9}{4}>0, aplicamos a propriedade do passo anterior:
\frac{x}{2}+1=\pm\sqrt{\frac{9}{4}}.
Calculemos a raiz quadrada: \sqrt{\tfrac{9}{4}}=\tfrac{3}{2}. Assim obtemos duas equações lineares:
\frac{x}{2}+1=\frac{3}{2} \qquad\text{e}\qquad \frac{x}{2}+1=-\frac{3}{2}.

Passo 4

Resolver a primeira equação passo a passo:
\frac{x}{2}+1=\frac{3}{2}.
Subtrai-se 1 dos dois lados. Como 1=\tfrac{2}{2}, temos
\frac{x}{2}=\frac{3}{2}-\frac{2}{2}=\frac{1}{2}.
Multiplicando ambos os lados por 2,
x=1.

Passo 5

Agora a segunda equação:
\frac{x}{2}+1=-\frac{3}{2}.
Subtrai-se 1=\tfrac{2}{2} dos dois lados:
\frac{x}{2}=-\frac{3}{2}-\frac{2}{2}=-\frac{5}{2}.
Multiplicando ambos os lados por 2,
x=-5.

Passo 6

Fazer a checagem rápida para garantir que não houve erro aritmético:
  • Para x=1: \dfrac{1}{2}+1=\dfrac{3}{2} e \left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}=\dfrac{9}{4} — OK.
  • Para x=-5: \dfrac{-5}{2}+1=-\dfrac{3}{2} e \left(-\dfrac{3}{2}\right)^{2}=\dfrac{9}{4} — OK.

Resposta

x=1
x=-5

Exercícios relacionados