Classifique, verifique e encontre a solução geral da EDO aplicando o método de Equação Exata (caso seja possível).
(5 x+4 y) d x+\left(4 x-8 y^{3}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para: classificar a equação, verificar se ela é exata e, caso seja, encontrar a solução geral aplicando o método de equação exata. A equação dada é
(5x+4y)\,dx + (4x-8y^{3})\,dy = 0.
As informações relevantes extraídas do enunciado são:
M(x,y)=5x+4y,\qquad N(x,y)=4x-8y^{3}.
Não vou resolver nada ainda — apenas listei o que foi pedido e quais funções M e N temos.

Passo 2

O que significa ser uma equação exata? Vou explicar de forma bem direta e passo a passo. A equação diferencial na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
é dita exata em uma região quando existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
d\Phi = \frac{\partial \Phi}{\partial x}\,dx + \frac{\partial \Phi}{\partial y}\,dy = M\,dx + N\,dy.
Isto implica que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M\qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N.
Uma maneira prática de testar exatidão é verificar se as derivadas parciais cruzadas coincidem:
\frac{\partial M}{\partial y} \stackrel{?}{=} \frac{\partial N}{\partial x}.
Se isso acontecer numa região adequada (por exemplo uma região simplesmente conexa onde M e N têm derivadas parciais contínuas), então existe \Phi e a solução geral é \Phi(x,y)=C.

Passo 3

Agora aplico o teste de exatidão às funções que temos. Calculo as derivadas parciais cruzadas:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(5x+4y)=4,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(4x-8y^{3})=4.
Como \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}=4, a forma diferencial é exata (as funções são polinômios, logo as derivadas parciais são contínuas e a região pode ser o plano todo). Portanto podemos procurar uma função \Phi(x,y) com \Phi_x=M e \Phi_y=N.

Passo 4

Para encontrar \Phi, começo integrando M em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int M(x,y)\,dx = \int (5x+4y)\,dx.
Faço a integral termo a termo:
\int 5x\,dx = \frac{5}{2}x^{2},\qquad \int 4y\,dx = 4y\cdot x,
portanto
\Phi(x,y)=\frac{5}{2}x^{2}+4xy + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração relativa a x: pode depender de y.

Passo 5

Agora uso a condição \Phi_y=N para determinar h(y). Calculo \Phi_y a partir da expressão encontrada:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=4x + h'(y).
Devemos ter \Phi_y=N, ou seja
4x + h'(y) = 4x - 8y^{3}.
Isolando h'(y) fica
h'(y) = -8y^{3}.

Passo 6

Integro h'(y) para obter h(y):
h(y)=\int -8y^{3}\,dy = -8\cdot\frac{y^{4}}{4} = -2y^{4} + C_{0},
onde C_{0} é uma constante (que depois será incorporada na constante final da solução implícita). Assim a função potencial completa é
\Phi(x,y)=\frac{5}{2}x^{2}+4xy -2y^{4} + C_{0}.

Passo 7

A solução geral da equação diferencial está dada implicitamente por \Phi(x,y)= constante. Podemos eliminar C_{0} escrevendo
\frac{5}{2}x^{2}+4xy -2y^{4} = C,
onde C é uma constante arbitrária. Se preferir evitar frações, multiplico ambos os lados por 2 e obtemos uma forma equivalente:
5x^{2}+8xy -4y^{4} = C',
com C'=2C.

Resposta

\dfrac{5}{2}x^{2}+4xy-2y^{4}=C

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