Classifique, verifique e encontre a solução geral da EDO aplicando o método de Equação Exata (caso seja possível).
Passo 1
O enunciado pede para: classificar a equação, verificar se ela é exata e, caso seja, encontrar a solução geral aplicando o método de equação exata. A equação dada é
As informações relevantes extraídas do enunciado são:
Não vou resolver nada ainda — apenas listei o que foi pedido e quais funções
e
temos.
Passo 2
O que significa ser uma equação exata? Vou explicar de forma bem direta e passo a passo. A equação diferencial na forma
é dita exata em uma região quando existe uma função potencial
tal que
Isto implica que
Uma maneira prática de testar exatidão é verificar se as derivadas parciais cruzadas coincidem:
Se isso acontecer numa região adequada (por exemplo uma região simplesmente conexa onde
e
têm derivadas parciais contínuas), então existe
e a solução geral é
.
Passo 3
Agora aplico o teste de exatidão às funções que temos. Calculo as derivadas parciais cruzadas:
Como
, a forma diferencial é exata (as funções são polinômios, logo as derivadas parciais são contínuas e a região pode ser o plano todo). Portanto podemos procurar uma função
com
e
.
Passo 4
Para encontrar
, começo integrando
em relação a
, tratando
como constante:
Faço a integral termo a termo:
portanto
onde
é uma “constante” de integração relativa a
: pode depender de
.
Passo 5
Agora uso a condição
para determinar
. Calculo
a partir da expressão encontrada:
Devemos ter
, ou seja
Isolando
fica
Passo 6
Integro
para obter
:
onde
é uma constante (que depois será incorporada na constante final da solução implícita). Assim a função potencial completa é
Passo 7
A solução geral da equação diferencial está dada implicitamente por
constante. Podemos eliminar
escrevendo
onde
é uma constante arbitrária. Se preferir evitar frações, multiplico ambos os lados por
e obtemos uma forma equivalente:
com
.