Classifique, verifique e encontre a solução geral da EDO aplicando o método de Equação Exata (caso seja possível).
(2 x-1) d x+(3 y+7) d y=0

Passo 1

O enunciado pede três coisas: classificar a equação, verificar se ela é exata e, se for possível, encontrar a solução geral aplicando o método de equação exata. A equação dada é
(2 x-1)\,dx+(3 y+7)\,dy=0.
Informações relevantes que temos do enunciado:
M(x,y)=2x-1
N(x,y)=3y+7
Não vou resolver nada neste passo — só deixei explícito o que o problema pede e quais funções aparecem.

Passo 2

Classificação e condição de exatidão (teoria e verificação):
Uma equação diferencial na forma
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
é dita exata se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
d\Phi = \Phi_x\,dx+\Phi_y\,dy = M\,dx+N\,dy.
Uma condição prática e muito usada para verificar exatidão (quando M e N têm derivadas parciais contínuas) é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Isso vem da igualdade das derivadas mistas de \Phi: \Phi_{xy}=\Phi_{yx}.
Agora calculemos as derivadas parciais para nosso caso:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2x-1)=0,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(3y+7)=0.
Como \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}=0, a equação é exata. (Também note que M depende só de x e N só de y, o que já sugere exatidão.)

Passo 3

Método para encontrar a função potencial \Phi(x,y) (aula rápida):
Se a equação é exata, existe \Phi(x,y) com
\Phi_x=M(x,y)\quad\text{e}\quad \Phi_y=N(x,y).
O procedimento padrão é integrar M em relação a x (tratando y como constante) e depois determinar a “constante de integração” que pode depender de y.
Integramos M em relação a x:
\Phi(x,y)=\int (2x-1)\,dx = x^2 - x + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (pois ao derivar \Phi em relação a x essa função desaparece).

Passo 4

Determinar h(y) usando a outra condição \Phi_y=N (explicação):
Derivamos \Phi(x,y)=x^2-x+h(y) em relação a y:
\Phi_y(x,y)=h'(y).
Como deve valer \Phi_y=N(x,y)=3y+7, obtemos a equação para h:
h'(y)=3y+7.
Integramos em relação a y:
h(y)=\int (3y+7)\,dy = \frac{3}{2}y^2+7y + C_1,
onde C_1 é uma constante.

Passo 5

Construir \Phi e escrever a solução geral:
Substituindo h(y) em \Phi temos
\Phi(x,y)=x^2-x+\frac{3}{2}y^2+7y + C_1.
A solução geral da equação diferencial expressa pela função potencial é dada implicitamente por
\Phi(x,y)=C,
onde C é uma constante arbitrária (podemos absorver C_1 em C). Assim a solução geral pode ser escrita como
x^2-x+\frac{3}{2}y^2+7y=C.

Passo 6

Comentário final e checagem rápida (motivação e alternativa):
  • Como observação útil: a equação também é separável porque pode ser escrita como (2x-1)\,dx=-(3y+7)\,dy e integrando cada lado obtemos exatamente a mesma forma da solução que encontramos pela exatidão. Portanto, o resultado confere por dois métodos.
  • Você conseguiu! Mesmo parecendo muita teoria, o procedimento é sempre o mesmo: verificar \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, integrar M em x, ajustar com função de y, e usar \Phi_y=N para achar essa função.

Resposta

Classificação: equação diferencial ordinária de primeira ordem, na forma diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0, e é exata.
Verificação de exatidão: \displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}=0 e \displaystyle \frac{\partial N}{\partial x}=0, logo iguais, portanto exata.
Solução geral: \displaystyle x^2-x+\frac{3}{2}y^2+7y=C

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