Classifique, verifique e encontre a solução geral da EDO aplicando o método de Equação Exata (caso seja possível).
Passo 1
O enunciado pede três coisas: classificar a equação, verificar se ela é exata e, se for possível, encontrar a solução geral aplicando o método de equação exata. A equação dada é
Informações relevantes que temos do enunciado:
Não vou resolver nada neste passo — só deixei explícito o que o problema pede e quais funções aparecem.
Passo 2
Classificação e condição de exatidão (teoria e verificação):
Uma equação diferencial na forma
Uma equação diferencial na forma
é dita exata se existe uma função potencial
tal que
Uma condição prática e muito usada para verificar exatidão (quando
e
têm derivadas parciais contínuas) é
Isso vem da igualdade das derivadas mistas de
:
.
Agora calculemos as derivadas parciais para nosso caso:
Como
, a equação é exata. (Também note que
depende só de
e
só de
, o que já sugere exatidão.)
Passo 3
Método para encontrar a função potencial
(aula rápida):
Se a equação é exata, existe com
Se a equação é exata, existe
O procedimento padrão é integrar
em relação a
(tratando
como constante) e depois determinar a “constante de integração” que pode depender de
.
Integramos
em relação a
:
onde
é uma função arbitrária de
(pois ao derivar
em relação a
essa função desaparece).
Passo 4
Determinar
usando a outra condição
(explicação):
Derivamos em relação a
:
Derivamos
Como deve valer
, obtemos a equação para
:
Integramos em relação a
:
onde
é uma constante.
Passo 5
Construir
e escrever a solução geral:
Substituindo em
temos
Substituindo
A solução geral da equação diferencial expressa pela função potencial é dada implicitamente por
onde
é uma constante arbitrária (podemos absorver
em
). Assim a solução geral pode ser escrita como
Passo 6
Comentário final e checagem rápida (motivação e alternativa):
- Como observação útil: a equação também é separável porque pode ser escrita como
e integrando cada lado obtemos exatamente a mesma forma da solução que encontramos pela exatidão. Portanto, o resultado confere por dois métodos. - Você conseguiu! Mesmo parecendo muita teoria, o procedimento é sempre o mesmo: verificar
, integrar em , ajustar com função de , e usar para achar essa função.
Resposta
Classificação: equação diferencial ordinária de primeira ordem, na forma diferencial
, e é exata.
Verificação de exatidão:
e
, logo iguais, portanto exata.
Solução geral: