Classifique, verifique e encontre a solução geral da EDO aplicando o método de Equação Exata (caso seja possível).
x \frac{d y}{d x}=2 x e^{x}-y+6 x^{2}

Passo 1

O enunciado pede três coisas: classificar a equação, verificar se ela é exata e, quando possível, encontrar a solução geral aplicando o método de equação exata. A EDO fornecida é
x\frac{dy}{dx}=2x e^{x}-y+6x^{2}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{(i)}\\ \,x\frac{dy}{dx}=2x e^{x}-y+6x^{2}.
Não há mais dados (condições iniciais). A solução pedida é a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever a EDO na forma diferencial padrão
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.
Parto da equação dada e multiplico por dx:
x\,dy -\bigl(2x e^{x}-y+6x^{2}\bigr)\,dx=0.
Assim escolho
M(x,y)=-\bigl(2x e^{x}-y+6x^{2}\bigr)=-2x e^{x}+y-6x^{2}
e
N(x,y)=x.

Passo 3

Agora lembro da definição de equação exata: uma equação na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M\quad\text{e}\quad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N.
Uma condição prática e fácil de verificar (quando M e N têm derivadas parciais contínuas) é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Vou calcular essas derivadas parciais explicitamente.

Passo 4

Calculo das derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-2x e^{x}+y-6x^{2}\bigr)=1,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x)=1.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}=1, a condição de exatidão está satisfeita. Logo a equação é exata (em qualquer região onde M e N são C^1, aqui valem para todo (x,y)).

Passo 5

Agora procuro a função potencial \Phi(x,y) tal que \dfrac{\partial \Phi}{\partial x}=M e \dfrac{\partial \Phi}{\partial y}=N. Integro M em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int M(x,y)\,dx=\int\bigl(-2x e^{x}+y-6x^{2}\bigr)\,dx.
Faço a integral termo a termo. Primeiro \int -2x e^{x}\,dx. Uso integração por partes: tome u=-2x e dv=e^{x}dx, então du=-2dx e v=e^{x}. Assim
\int -2x e^{x}\,dx = uv-\int v\,du = (-2x)e^{x}-\int e^{x}(-2)\,dx = -2x e^{x}+2\int e^{x}\,dx.
Portanto
\int -2x e^{x}\,dx=-2x e^{x}+2e^{x}.
As outras integrais são diretas:
\int y\,dx = xy\quad(\text{pois }y\text{ é tratada como constante}),é
\int -6x^{2}\,dx = -2x^{3}.
Somando os termos e adicionando uma função arbitrária de y, h(y), porque a integração em x pode deixar uma função de y:
\Phi(x,y)=-2x e^{x}+2e^{x}+xy-2x^{3}+h(y).

Passo 6

Imponho agora \dfrac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y)=x. Calculo
\frac{\partial \Phi}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-2x e^{x}+2e^{x}+xy-2x^{3}+h(y)\bigr)=x+h'(y).
Igualando a N(x,y)=x obtenho
x+h'(y)=x \quad\Rightarrow\quad h'(y)=0.
Logo h(y) é constante, digamos h(y)=C.

Passo 7

A solução geral implícita vem de \Phi(x,y)=\text{constante}. Assim
-2x e^{x}+2e^{x}+xy-2x^{3}=C.
Posso reescrever de forma um pouco mais compacta fatorando 2e^{x}:
xy+2e^{x}(1-x)-2x^{3}=C.
Se quiser uma expressão explícita para y (válida quando x\neq 0), basta isolar y:
y=\frac{C+2x e^{x}-2e^{x}+2x^{3}}{x},
mas a forma implícita xy+2e^{x}(1-x)-2x^{3}=C é a solução geral mais limpa e mantém também o caso x=0 entendido implicitamente.

Resposta

Classificação: equação diferencial de primeira ordem, exata.
Verificação: \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}=1, logo é exata.
Solução geral: -2x e^{x}+2e^{x}+xy-2x^{3}=C.

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