Classifique, verifique e encontre a solução geral da EDO aplicando o método de Equação Exata (caso seja possível).
Passo 1
O enunciado pede três coisas: classificar a equação, verificar se ela é exata e, quando possível, encontrar a solução geral aplicando o método de equação exata. A EDO fornecida é
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Não há mais dados (condições iniciais). A solução pedida é a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro passo prático: escrever a EDO na forma diferencial padrão
Parto da equação dada e multiplico por
:
Assim escolho
e
Passo 3
Agora lembro da definição de equação exata: uma equação na forma
é exata se existe uma função potencial
tal que
Uma condição prática e fácil de verificar (quando
e
têm derivadas parciais contínuas) é
Vou calcular essas derivadas parciais explicitamente.
Passo 4
Calculo das derivadas parciais:
Como
, a condição de exatidão está satisfeita. Logo a equação é exata (em qualquer região onde
e
são
, aqui valem para todo
).
Passo 5
Agora procuro a função potencial
tal que
e
. Integro
em relação a
, tratando
como constante:
Faço a integral termo a termo. Primeiro
. Uso integração por partes: tome
e
, então
e
. Assim
Portanto
As outras integrais são diretas:
Somando os termos e adicionando uma função arbitrária de
,
, porque a integração em
pode deixar uma função de
:
Passo 6
Imponho agora
. Calculo
Igualando a
obtenho
Logo
é constante, digamos
.
Passo 7
A solução geral implícita vem de
. Assim
Posso reescrever de forma um pouco mais compacta fatorando
:
Se quiser uma expressão explícita para
(válida quando
), basta isolar
:
mas a forma implícita
é a solução geral mais limpa e mantém também o caso
entendido implicitamente.
Resposta
Classificação: equação diferencial de primeira ordem, exata.
Verificação:
, logo é exata.
Solução geral:
.