Classifique, verifique e encontre a solução geral da EDO aplicando o método de Variáveis Separáveis.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede que eu:
- classifique a EDO;
- verifique (ou confirme) a solução encontrada;
- encontre a solução geral utilizando o método de Variáveis Separáveis.
Informações relevantes dadas: a equação está explicitamente escrita como derivada de
em função de
igual a uma expressão que depende apenas de
:
. Não há condição inicial fornecida.
Passo 2
Classificação da EDO (passo detalhado, sem resolver ainda).
- É uma EDO de primeira ordem, porque aparece apenas
(não há derivadas de ordem superior). - O lado direito depende somente de
(é ) e não depende de . Isso significa que a equação é do tipo em que a razão é uma função apenas de . - Em particular, ela pode ser vista como separável (vou mostrar isso em seguida) e também é uma equação linear de primeira ordem não homogênea (mas aqui seguiremos o método pedido: Variáveis Separáveis).
Passo 3
Breve aula sobre o método de Variáveis Separáveis (passo didático).
- Uma EDO é separável se puder ser escrita na forma
ou seja, o lado direito é um produto de uma função de
por uma função de
.
- A ideia é “separar” as variáveis: colocar tudo que envolve
com e tudo que envolve com , obtendo
e então integrar ambos os lados.
- Depois de integrar, juntamos as constantes de integração num único
. - Exemplo simples (para fixar): se
, então , integrando dá .
Passo 4
Aplicando o método à equação dada (separação efetiva).
A equação é
A equação é
Aqui o lado direito depende somente de
. Podemos ver isso como o produto de
por
(ou seja, não há realmente dependência em
). Assim a separação fica trivial:
Passo 5
Integração dos dois lados (detalhando cada integral).
Integramos ambos os lados:
Integramos ambos os lados:
- O lado esquerdo:
. - O lado direito:
e . Para faço a substituição mental , , então . Portanto
Juntando as constantes (
ou simplesmente renomeando), obtemos
onde
é uma constante arbitrária real.
Passo 6
Verificação (diferenciação para confirmar).
Derivo a solução encontrada para verificar que ela satisfaz a EDO:
Derivo a solução encontrada para verificar que ela satisfaz a EDO:
Isso coincide exatamente com o lado direito da equação dada, então a solução está verificada.
Passo 7
Observações finais e domínio.
- A constante
é qualquer número real: . - A solução é definida para todo
porque é definida em todo . - Se você tiver uma condição inicial do tipo
, basta substituir e na solução geral e resolver para .
Resposta
Classificação: EDO de primeira ordem; o lado direito depende apenas de
, portanto é separável (e também é uma equação linear de primeira ordem não homogênea).
Verificação: Ao derivar obtém-se
, logo a solução está verificada.
Solução geral: .
Verificação: Ao derivar
Solução geral: