Classifique, verifique e encontre a solução geral da EDO aplicando o método de Variáveis Separáveis.
\frac{d y}{d x}=1+e^{2 x}

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=1+e^{2 x}
e pede que eu:
  • classifique a EDO;
  • verifique (ou confirme) a solução encontrada;
  • encontre a solução geral utilizando o método de Variáveis Separáveis.
Informações relevantes dadas: a equação está explicitamente escrita como derivada de y em função de x igual a uma expressão que depende apenas de x: 1+e^{2x}. Não há condição inicial fornecida.

Passo 2

Classificação da EDO (passo detalhado, sem resolver ainda).
  • É uma EDO de primeira ordem, porque aparece apenas \frac{dy}{dx} (não há derivadas de ordem superior).
  • O lado direito depende somente de x 1+e^{2x}) e não depende de y. Isso significa que a equação é do tipo em que a razão \frac{dy}{dx} é uma função apenas de x.
  • Em particular, ela pode ser vista como separável (vou mostrar isso em seguida) e também é uma equação linear de primeira ordem não homogênea (mas aqui seguiremos o método pedido: Variáveis Separáveis).

Passo 3

Breve aula sobre o método de Variáveis Separáveis (passo didático).
  • Uma EDO é separável se puder ser escrita na forma
\frac{dy}{dx}=g(x)\,h(y),
ou seja, o lado direito é um produto de uma função de x por uma função de y.
  • A ideia é “separar” as variáveis: colocar tudo que envolve y com dy e tudo que envolve x com dx, obtendo
\frac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx,
e então integrar ambos os lados.
  • Depois de integrar, juntamos as constantes de integração num único C.
  • Exemplo simples (para fixar): se \frac{dy}{dx}=x, então dy = x\,dx, integrando \int dy = \int x\,dx y = \tfrac{1}{2}x^2 + C.

Passo 4

Aplicando o método à equação dada (separação efetiva).
A equação é
\frac{dy}{dx} = 1 + e^{2x}.
Aqui o lado direito depende somente de x. Podemos ver isso como o produto de g(x)=1+e^{2x} por h(y)=1 (ou seja, não há realmente dependência em y). Assim a separação fica trivial:
dy = \bigl(1+e^{2x}\bigr)\,dx.

Passo 5

Integração dos dois lados (detalhando cada integral).
Integramos ambos os lados:
\int dy = \int \bigl(1+e^{2x}\bigr)\,dx.
  • O lado esquerdo: \displaystyle \int dy = y + C_1.
  • O lado direito: \displaystyle \int 1\,dx = x e \displaystyle \int e^{2x}\,dx. Para \int e^{2x}\,dx faço a substituição mental u=2x, du=2\,dx, então \int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x}. Portanto
\int \bigl(1+e^{2x}\bigr)\,dx = x + \frac{1}{2}e^{2x} + C_2.
Juntando as constantes ( C = C_2 - C_1 ou simplesmente renomeando), obtemos
y = x + \frac{1}{2}e^{2x} + C,
onde C é uma constante arbitrária real.

Passo 6

Verificação (diferenciação para confirmar).
Derivo a solução encontrada para verificar que ela satisfaz a EDO:
\frac{d}{dx}\left(x + \frac{1}{2}e^{2x} + C\right) = 1 + \frac{1}{2}\cdot 2 e^{2x} + 0 = 1 + e^{2x}.
Isso coincide exatamente com o lado direito da equação dada, então a solução está verificada.

Passo 7

Observações finais e domínio.
  • A constante C é qualquer número real: C\in\mathbb{R}.
  • A solução é definida para todo x\in\mathbb{R} porque e^{2x} é definida em todo \mathbb{R}.
  • Se você tiver uma condição inicial do tipo y(x_0)=y_0, basta substituir x=x_0 e y=y_0 na solução geral e resolver para C.

Resposta

Classificação: EDO de primeira ordem; o lado direito depende apenas de x, portanto é separável (e também é uma equação linear de primeira ordem não homogênea).
Verificação: Ao derivar y(x)=x+\tfrac{1}{2}e^{2x}+C obtém-se \dfrac{dy}{dx}=1+e^{2x}, logo a solução está verificada.
Solução geral: \displaystyle y(x)=x+\frac{1}{2}e^{2x}+C,\; C\in\mathbb{R}.

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