Classifique, verifique e encontre a solução geral da EDO aplicando o método de Variáveis Separáveis.
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a equação diferencial
- Classificar a EDO (que tipo ela é).
- Verificar (ou seja, checar que a solução encontrada realmente satisfaz a EDO).
- Encontrar a solução geral aplicando o método de Variáveis Separáveis.
Informações dadas: a expressão do lado direito depende apenas de
; não há termo explícito em
. Não há condições iniciais fornecidas (logo queremos a família geral de soluções com constante arbitrária).
Passo 2
Classificação da EDO — vamos identificar características importantes, uma por vez, com explicação simples.
- Ordem: é de primeira ordem porque aparece apenas a derivada primeira
e nenhuma derivada de ordem superior. - Ordinária vs. parcial: é uma EDO (não EDP), porque há derivada em relação a uma única variável
. - Linearidade: podemos escrever a EDO na forma padrão linear
. Aqui e . Portanto é uma EDO linear de primeira ordem, não homogênea (porque ). - Separable (variáveis separáveis): como o lado direito depende só de
, podemos escrever imediatamente . Isso mostra que é separável (as variáveis e estão “separadas” naturalmente).
Passo 3
Explicando o método de Variáveis Separáveis (de forma didática):
A ideia básica é reescrever a equação de modo que todos os termos envolvendo fiquem multiplicando
e todos os termos envolvendo
fiquem multiplicando
. Depois integramos ambos os lados. Formalmente, se tivermos
A ideia básica é reescrever a equação de modo que todos os termos envolvendo
podemos escrever
e integrar ambos os lados. No nosso caso a dependência em
é trivial (fator
), então o procedimento fica ainda mais simples.
Passo 4
Aplicando o método ao problema: separar e integrar. Da equação dada temos
Multiplicando ambos os lados por
e isolando
obtemos
Agora integramos ambos os lados (integrais indefinidas). Isto significa buscar antiderivadas:
Explico a parte das integrais:
é simplesmente
(mais constante), porque derivada de
em relação a si é 1. Para
recorde que a derivada de
é
. Logo uma antiderivada de
é
, pois
.
Passo 5
Calcular as integrais explicitamente e introduzir a constante de integração. Assim
onde
é uma constante arbitrária (constante de integração) que representa a família geral de soluções. Comentário prático: sem uma condição inicial não podemos determinar um valor numérico para
; com uma condição do tipo
bastaria substituir e resolver para
.
Passo 6
Verificação: checar que a solução encontrada satisfaz a equação original. Tomemos
Derivando em relação a
temos
Isso coincide exatamente com o lado direito da EDO original, portanto a função encontrada é solução e, como
é arbitrário, é a solução geral.
Passo 7
Dicas para prova (rápidas e práticas): quando vir
já acenda a luz — é um caso muito fácil: integre
e
. Sempre lembre de colocar a constante
e, se der uma condição inicial, determine
substituindo. Respire fundo — essa você já sabe fazer.
Resposta
Classificação: EDO ordinária de primeira ordem, linear não homogênea e separável.
Verificação: substituindo e derivando obtemos
, logo satisfaz a EDO.
Solução geral: .
Verificação: substituindo
Solução geral: