Classifique, verifique e encontre a solução geral da EDO aplicando o método de Variáveis Separáveis.
\frac{d y}{d x}=\operatorname{sen}(x)

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\operatorname{sen}(x)
  1. Classificar a EDO (que tipo ela é).
  2. Verificar (ou seja, checar que a solução encontrada realmente satisfaz a EDO).
  3. Encontrar a solução geral aplicando o método de Variáveis Separáveis.
Informações dadas: a expressão do lado direito depende apenas de x; não há termo explícito em y. Não há condições iniciais fornecidas (logo queremos a família geral de soluções com constante arbitrária).

Passo 2

Classificação da EDO — vamos identificar características importantes, uma por vez, com explicação simples.
  • Ordem: é de primeira ordem porque aparece apenas a derivada primeira \dfrac{dy}{dx} e nenhuma derivada de ordem superior.
  • Ordinária vs. parcial: é uma EDO (não EDP), porque há derivada em relação a uma única variável x.
  • Linearidade: podemos escrever a EDO na forma padrão linear \dfrac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x). Aqui P(x)=0 e Q(x)=\operatorname{sen}(x). Portanto é uma EDO linear de primeira ordem, não homogênea (porque Q\neq0).
  • Separable (variáveis separáveis): como o lado direito depende só de x, podemos escrever imediatamente dy=\operatorname{sen}(x)\,dx. Isso mostra que é separável (as variáveis y e x estão “separadas” naturalmente).

Passo 3

Explicando o método de Variáveis Separáveis (de forma didática):
A ideia básica é reescrever a equação de modo que todos os termos envolvendo y fiquem multiplicando dy e todos os termos envolvendo x fiquem multiplicando dx. Depois integramos ambos os lados. Formalmente, se tivermos
\frac{dy}{dx}=g(x)\,h(y),
podemos escrever
\frac{1}{h(y)}\,dy=g(x)\,dx
e integrar ambos os lados. No nosso caso a dependência em y é trivial (fator h(y)=1), então o procedimento fica ainda mais simples.

Passo 4

Aplicando o método ao problema: separar e integrar. Da equação dada temos
\frac{dy}{dx}=\operatorname{sen}(x).
Multiplicando ambos os lados por dx e isolando dy obtemos
dy=\operatorname{sen}(x)\,dx.
Agora integramos ambos os lados (integrais indefinidas). Isto significa buscar antiderivadas:
\int dy=\int \operatorname{sen}(x)\,dx.
Explico a parte das integrais: \int dy é simplesmente y (mais constante), porque derivada de y em relação a si é 1. Para \int \operatorname{sen}(x)\,dx recorde que a derivada de \cos(x) é -\operatorname{sen}(x). Logo uma antiderivada de \operatorname{sen}(x) é -\cos(x), pois \dfrac{d}{dx}(-\cos x)=\operatorname{sen} x.

Passo 5

Calcular as integrais explicitamente e introduzir a constante de integração. Assim
y = -\cos(x) + C,
onde C é uma constante arbitrária (constante de integração) que representa a família geral de soluções. Comentário prático: sem uma condição inicial não podemos determinar um valor numérico para C; com uma condição do tipo y(x_0)=y_0 bastaria substituir e resolver para C.

Passo 6

Verificação: checar que a solução encontrada satisfaz a equação original. Tomemos
y(x)=-\cos(x)+C.
Derivando em relação a x temos
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\big(-\cos(x)+C\big)=\operatorname{sen}(x)+0=\operatorname{sen}(x).
Isso coincide exatamente com o lado direito da EDO original, portanto a função encontrada é solução e, como C é arbitrário, é a solução geral.

Passo 7

Dicas para prova (rápidas e práticas): quando vir \dfrac{dy}{dx}=f(x) já acenda a luz — é um caso muito fácil: integre \,dy e \,f(x)\,dx. Sempre lembre de colocar a constante C e, se der uma condição inicial, determine C substituindo. Respire fundo — essa você já sabe fazer.

Resposta

Classificação: EDO ordinária de primeira ordem, linear não homogênea e separável.
Verificação: substituindo y(x)=-\cos(x)+C e derivando obtemos \dfrac{dy}{dx}=\operatorname{sen}(x), logo satisfaz a EDO.
Solução geral: y(x)=-\cos(x)+C.

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