Exercício 13. Se f(x)=\frac{1}{3 x+2}, use a definição de derivada para calcular f^{\prime}(-1).

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x)=\frac{1}{3x+2} e pede para calcular a derivada de f no ponto -1 usando a definição de derivada.
Informações relevantes extraídas do enunciado: \displaystyle f(x)=\frac{1}{3x+2} e o ponto onde queremos a derivada é x_0=-1.
A pergunta concreta é: qual é o valor de \displaystyle f'(-1) obtido a partir da definição de derivada?

Passo 2

Vou escrever a definição de derivada no ponto x_0 e explicar cada coisa com calma.
A definição de derivada em um ponto x_0 é
f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.
Aqui:
  • \displaystyle f'(x_0) é a derivada de f em x_0, o que representa a taxa de variação instantânea de f em x_0.
  • h é um incremento pequeno em x; tomamos o limite quando h tende a 0.
    Na prática, a técnica é: calcular \displaystyle \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}, simplificar algebricamente para que o fator h cancele, e então fazer h\to 0.

Passo 3

Calculo primeiro \displaystyle f(-1) substituindo x=-1 em f(x):
f(-1)=\frac{1}{3(-1)+2}=\frac{1}{-3+2}=\frac{1}{-1}=-1.

Passo 4

Agora monto o quociente de diferença pedido pela definição em x_0=-1:
\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}.
Calculo \displaystyle f(-1+h) substituindo x=-1+h em f:
f(-1+h)=\frac{1}{3(-1+h)+2}=\frac{1}{-3+3h+2}=\frac{1}{3h-1}.
Substituindo no quociente:
\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=\frac{\dfrac{1}{3h-1}-(-1)}{h}=\frac{\dfrac{1}{3h-1}+1}{h}.

Passo 5

Faço a soma no numerador da fração: somar \dfrac{1}{3h-1} com 1. Coloco em denomínio comum (3h-1):
\dfrac{1}{3h-1}+1=\dfrac{1}{3h-1}+\dfrac{3h-1}{3h-1}=\dfrac{1+3h-1}{3h-1}=\dfrac{3h}{3h-1}.
Portanto o quociente fica
\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=\frac{\dfrac{3h}{3h-1}}{h}=\dfrac{3h}{3h-1}\cdot\dfrac{1}{h}=\dfrac{3}{3h-1}.
Observe que o fator h cancelou, que é exatamente o objetivo da manipulação algébrica para podermos passar ao limite.

Passo 6

Agora tomo o limite quando h\to 0:
f'(-1)=\lim_{h\to 0}\dfrac{3}{3h-1}.
Como a função \dfrac{3}{3h-1} é contínua em torno de h=0 (o denominador em h=0 é -1, diferente de zero), posso simplesmente substituir h=0:
f'(-1)=\dfrac{3}{3\cdot 0-1}=\dfrac{3}{-1}=-3.

Passo 7

Curiosidade rápida de checagem (opcional): existe uma regra que diz que se g(x)=\dfrac{1}{ax+b} então g'(x)=-\dfrac{a}{(ax+b)^2}. Aplicando com a=3,b=2 em x=-1 -\dfrac{3}{(3(-1)+2)^2}=-\dfrac{3}{(-1)^2}=-3, que confirma o resultado obtido pela definição. Só estou mostrando isso para você ver que o resultado bate com a derivada conhecida de uma função racional linear no denominador.

Resposta

-3

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