Exercício 13. Se
, use a definição de derivada para calcular
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada de
no ponto
usando a definição de derivada.
Informações relevantes extraídas do enunciado: e o ponto onde queremos a derivada é
.
A pergunta concreta é: qual é o valor de obtido a partir da definição de derivada?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A pergunta concreta é: qual é o valor de
Passo 2
Vou escrever a definição de derivada no ponto
e explicar cada coisa com calma.
A definição de derivada em um ponto é
A definição de derivada em um ponto
Aqui:
-
é a derivada de em , o que representa a taxa de variação instantânea de em . -
é um incremento pequeno em ; tomamos o limite quando tende a .
Na prática, a técnica é: calcular, simplificar algebricamente para que o fator cancele, e então fazer .
Passo 3
Calculo primeiro
substituindo
em
:
Passo 4
Agora monto o quociente de diferença pedido pela definição em
:
Calculo
substituindo
em
:
Substituindo no quociente:
Passo 5
Faço a soma no numerador da fração: somar
com
. Coloco em denomínio comum
:
Portanto o quociente fica
Observe que o fator
cancelou, que é exatamente o objetivo da manipulação algébrica para podermos passar ao limite.
Passo 6
Agora tomo o limite quando
:
Como a função
é contínua em torno de
(o denominador em
é
, diferente de zero), posso simplesmente substituir
:
Passo 7
Curiosidade rápida de checagem (opcional): existe uma regra que diz que se
então
. Aplicando com
em
dá
, que confirma o resultado obtido pela definição. Só estou mostrando isso para você ver que o resultado bate com a derivada conhecida de uma função racional linear no denominador.