Classifique, verifique e encontre a solução geral e específica da EDO aplicando o método de Variáveis Separáveis.
\frac{d y}{d x}=-\frac{x}{y} \quad y(4)=3

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial ordinária e uma condição inicial:
\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y},
com a condição inicial \;y(4)=3.
O que se pede:
  1. Classificar a EDO.
  2. Verificar (mostrar que a solução encontrada de fato satisfaz a EDO).
  3. Encontrar a solução geral usando o método de Variáveis Separáveis.
  4. Encontrar a solução particular que satisfaz \;y(4)=3.

Passo 2

Classificação da EDO (passo a passo, sem pressa):
  • É uma EDO de primeira ordem porque envolve apenas a derivada primeira \dfrac{dy}{dx}.
  • Não é linear em y no sentido padrão \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x), pois o termo que multiplica y aparece no denominador.
  • A função do lado direito é f(x,y) = -\dfrac{x}{y}. Observe que f pode ser escrita como produto de uma função só de x e outra só de y: -\dfrac{x}{y}=(-x)\cdot \dfrac{1}{y}. Isso significa que a equação é separável (podemos colocar todos os termos com y de um lado e todos os termos com x do outro).
  • Comentário adicional (útil para a prova): a equação também é homogênea no sentido de que f(tx,ty)=f(x,y), mas o que nos interessa aqui é que ela é separável.

Passo 3

Explicando o método de Variáveis Separáveis (por que e como): a ideia é tratar y como função de x e manipular a equação de modo que todas as expressões envolvendo y e dy fiquem num lado e todas as expressões envolvendo x e dx fiquem no outro. Assim podemos integrar cada lado em relação à sua variável.
Aplicando isso à nossa equação:
Partimos de
\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}.
Multiplicamos ambos os lados por y e por dx (operações algebraicas válidas enquanto y\neq 0):
y\,dy = -x\,dx.
Agora as variáveis estão separadas: lado esquerdo só contém y e dy; lado direito só contém x e dx.

Passo 4

Integrando ambos os lados (a explicação das integrais):
Integramos com respeito às variáveis correspondentes:
\int y\,dy = \int -x\,dx.
Cálculo das integrais básicas:
  • \displaystyle \int y\,dy = \frac{1}{2}y^2 + C_1. Aqui usamos a regra \int u\,du = \frac{1}{2}u^2.
  • \displaystyle \int -x\,dx = -\frac{1}{2}x^2 + C_2.
Igualando e agrupando constantes (podemos juntar C_1 e C_2 numa única constante C):
\frac{1}{2}y^2 = -\frac{1}{2}x^2 + C,
onde C é uma constante arbitrária (real). Multiplicando por 2 para simplificar:
y^2 = -x^2 + C',
onde C' = 2C é outra constante arbitrária. É comum reescrever:
y^2 + x^2 = C,
usando a letra C para a constante final (aqui C real arbitrário).

Passo 5

Interpretação e forma explícita da solução geral:
A solução implícita geral é
y^2 + x^2 = C,
com C constante real. Resolvendo explicitamente para y temos duas ramificações:
y = \pm\sqrt{C - x^2}.
Observações importantes para a prova e para usar na hora:
  • A constante C deve ser tal que C - x^2 \ge 0 no domínio considerado (para que a raiz seja real).
  • Geometricamente, cada constante C>0 representa uma circunferência centrada na origem de raio \sqrt{C}; C=0 dá apenas o ponto (0,0); C<0 não dá solução real.
  • A escolha do sinal \pm corresponde às duas metades (superior e inferior) da circunferência.

Passo 6

Verificação (mostrar que a solução geral satisfaz a EDO):
Tomemos a forma implícita y^2 + x^2 = C. Diferenciando implicitamente ambos os lados em relação a x:
2y\frac{dy}{dx} + 2x = 0.
Isolando \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y},
que é exatamente a EDO dada. Portanto a solução y^2+x^2=C satisfaz a equação diferencial sempre que y\neq 0. Isso confirma que o processo de separação e integração foi correto.

Passo 7

Aplicando a condição inicial \;y(4)=3 para obter a solução particular:
Substituímos x=4 e y=3 na solução geral y^2+x^2=C:
3^2 + 4^2 = C \quad\Rightarrow\quad 9 + 16 = C \quad\Rightarrow\quad C = 25.
Logo a solução particular implícita é
y^2 + x^2 = 25.
Em forma explícita:
y = \pm\sqrt{25 - x^2}.
Como a condição inicial dá y(4)=3>0, escolhemos o ramo positivo:
y(x) = \sqrt{25 - x^2}.
Domínio da solução particular:
  • Para que a raiz seja real precisamos 25 - x^2 \ge 0, ou seja |x|\le 5.
  • Contudo, na EDO original \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y} o lado direito fica indefinido quando y=0. Assim, para que a solução seja uma solução clássica da EDO (com derivada definida) devemos evitar pontos onde y=0. Portanto o maior intervalo aberto contendo x=4 onde a solução é clássica é (-5,5). Na prática, a expressão \sqrt{25-x^2} funciona para |x|\le 5, mas em |x|=5 a derivada torna-se problemática porque y=0.
    Verificação rápida derivando a solução particular explícita:
y(x)=\sqrt{25-x^2}\quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{25-x^2}}(-2x) = -\frac{x}{\sqrt{25-x^2}} = -\frac{x}{y},
concordando com a EDO.

Resposta

Classificação: EDO de primeira ordem, não linear, separável; família de soluções implícitas y^2+x^2=C.
Solução geral: y^2 + x^2 = C ou y=\pm\sqrt{C-x^2}.
Solução particular que satisfaz \;y(4)=3: y^2 + x^2 = 25, ou y(x)=\sqrt{25-x^2} (ramo positivo), definida no intervalo (-5,5).

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