Classifique, verifique e encontre a solução geral e específica da EDO aplicando o método de Variáveis Separáveis.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial ordinária e uma condição inicial:
com a condição inicial
.
O que se pede:
O que se pede:
- Classificar a EDO.
- Verificar (mostrar que a solução encontrada de fato satisfaz a EDO).
- Encontrar a solução geral usando o método de Variáveis Separáveis.
- Encontrar a solução particular que satisfaz
.
Passo 2
Classificação da EDO (passo a passo, sem pressa):
- É uma EDO de primeira ordem porque envolve apenas a derivada primeira
. - Não é linear em
no sentido padrão , pois o termo que multiplica aparece no denominador. - A função do lado direito é
. Observe que pode ser escrita como produto de uma função só de e outra só de : . Isso significa que a equação é separável (podemos colocar todos os termos com de um lado e todos os termos com do outro). - Comentário adicional (útil para a prova): a equação também é homogênea no sentido de que
, mas o que nos interessa aqui é que ela é separável.
Passo 3
Explicando o método de Variáveis Separáveis (por que e como): a ideia é tratar
como função de
e manipular a equação de modo que todas as expressões envolvendo
e
fiquem num lado e todas as expressões envolvendo
e
fiquem no outro. Assim podemos integrar cada lado em relação à sua variável.
Aplicando isso à nossa equação:
Partimos de
Partimos de
Multiplicamos ambos os lados por
e por
(operações algebraicas válidas enquanto
):
Agora as variáveis estão separadas: lado esquerdo só contém
e
; lado direito só contém
e
.
Passo 4
Integrando ambos os lados (a explicação das integrais):
Integramos com respeito às variáveis correspondentes:
Integramos com respeito às variáveis correspondentes:
Cálculo das integrais básicas:
-
. Aqui usamos a regra . -
.
Igualando e agrupando constantes (podemos juntar
e
numa única constante
):
onde
é uma constante arbitrária (real). Multiplicando por
para simplificar:
onde
é outra constante arbitrária. É comum reescrever:
usando a letra
para a constante final (aqui
real arbitrário).
Passo 5
Interpretação e forma explícita da solução geral:
A solução implícita geral é
A solução implícita geral é
com
constante real. Resolvendo explicitamente para
temos duas ramificações:
Observações importantes para a prova e para usar na hora:
- A constante
deve ser tal que no domínio considerado (para que a raiz seja real). - Geometricamente, cada constante
representa uma circunferência centrada na origem de raio ; dá apenas o ponto ; não dá solução real. - A escolha do sinal
corresponde às duas metades (superior e inferior) da circunferência.
Passo 6
Verificação (mostrar que a solução geral satisfaz a EDO):
Tomemos a forma implícita . Diferenciando implicitamente ambos os lados em relação a
:
Tomemos a forma implícita
Isolando
:
que é exatamente a EDO dada. Portanto a solução
satisfaz a equação diferencial sempre que
. Isso confirma que o processo de separação e integração foi correto.
Passo 7
Aplicando a condição inicial
para obter a solução particular:
Substituímos e
na solução geral
:
Substituímos
Logo a solução particular implícita é
Em forma explícita:
Como a condição inicial dá
, escolhemos o ramo positivo:
Domínio da solução particular:
- Para que a raiz seja real precisamos
, ou seja . - Contudo, na EDO original
o lado direito fica indefinido quando . Assim, para que a solução seja uma solução clássica da EDO (com derivada definida) devemos evitar pontos onde . Portanto o maior intervalo aberto contendo onde a solução é clássica é . Na prática, a expressão funciona para , mas em a derivada torna-se problemática porque .
Verificação rápida derivando a solução particular explícita:
concordando com a EDO.
Resposta
Classificação: EDO de primeira ordem, não linear, separável; família de soluções implícitas
.
Solução geral: ou
.
Solução particular que satisfaz :
, ou
(ramo positivo), definida no intervalo
.
Solução geral:
Solução particular que satisfaz