Classifique, verifique e encontre a solução geral da EDO aplicando o método de Variáveis Separáveis.
Passo 1
O enunciado pede três coisas: (i) classificar a equação diferencial dada, (ii) verificar a solução encontrada, e (iii) encontrar a solução geral utilizando o método de Variáveis Separáveis. A equação que recebemos é
Informações importantes fornecidas: a equação envolve os diferenciais
e
e contém os termos
,
,
e
. Não há nenhuma condição inicial fornecida, então procuraremos a solução geral (familia de soluções com constante de integração).
Passo 2
Como o enunciado pede explicitamente o método de Variáveis Separáveis, vamos tentar separar todas as partes que dependem de
de todas as que dependem de
. Começamos escrevendo a equação na forma diferencial:
Para separar, é conveniente eliminar o fator
do lado com
. Multiplicamos ambos os lados por
; isso dá
Agora as variáveis estão separadas: o lado esquerdo depende só de
e o direito só de
. Podemos integrar ambos os lados.
Passo 3
Escrevemos as integrais correspondentes:
Vou explicar como calcular cada uma dessas integrais usando a técnica de integração por partes.
Passo 4
Lembrando a fórmula de integração por partes:
onde
e
são escolhidos a partir do integrando. Para a integral do lado esquerdo escolhemos
Então
e
. Aplicando a fórmula:
A última integral é
. Portanto
Expliquei cada escolha: escolhemos
porque sua derivada simplifica e
porque sua primitiva é simples.
Passo 5
Agora a integral do lado direito:
Também usamos integração por partes. Escolhemos
logo
e
. Aplicando a fórmula:
Fatorando
:
Passo 6
Igualando as duas primitivas (podemos reunir as constantes de integração em uma só constante
), temos
Definindo
e reorganizando os termos para uma forma limpa, uma forma conveniente da solução implícita geral é
onde
é uma constante arbitrária real. Essa é a solução geral implícita da EDO.
Passo 7
Classificação da equação (explicito aqui): trata-se de uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e separável (pois conseguimos escrever todos os termos em função só de
multiplicando
e só de
multiplicando
).
Passo 8
Verificação: diferenciamos implicitamente a solução encontrada para checar que recuperamos a equação original. Diferenciando
em relação a
e usando a regra da cadeia para o termo em
, obtemos
Calculemos termo a termo. Para o primeiro termo, como função de
,
portanto
. Para o segundo termo,
Assim a derivada total dá
ou seja
Multiplicando por
e rearranjando, obtemos exatamente a equação original
Portanto a solução implícita está verificada.
Passo 9
Resumo final didático rápido: para resolver, multiplicamos por
para eliminar
, separamos variáveis em
, usamos integração por partes em ambos os lados e obtivemos a solução implícita
. Verificamos diferenciando implicitamente e recuperando a EDO original.
Resposta
Classificação: equação diferencial ordinária de primeira ordem, separável.
Verificação: a solução implícita verifica a EDO (ver passo 8).
Verificação: a solução implícita verifica a EDO (ver passo 8).
Solução geral: