Classifique, verifique e encontre a solução geral da EDO aplicando o método de Variáveis Separáveis.
x e^{-y} \operatorname{sen}(x) d x-y d y=0

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (i) classificar a equação diferencial dada, (ii) verificar a solução encontrada, e (iii) encontrar a solução geral utilizando o método de Variáveis Separáveis. A equação que recebemos é
x e^{-y}\sin(x)\,dx - y\,dy = 0.
Informações importantes fornecidas: a equação envolve os diferenciais dx e dy e contém os termos x, y, e^{-y} e \sin(x). Não há nenhuma condição inicial fornecida, então procuraremos a solução geral (familia de soluções com constante de integração).

Passo 2

Como o enunciado pede explicitamente o método de Variáveis Separáveis, vamos tentar separar todas as partes que dependem de x de todas as que dependem de y. Começamos escrevendo a equação na forma diferencial:
x e^{-y}\sin(x)\,dx = y\,dy.
Para separar, é conveniente eliminar o fator e^{-y} do lado com dx. Multiplicamos ambos os lados por e^{y}; isso dá
x\sin(x)\,dx = y e^{y}\,dy.
Agora as variáveis estão separadas: o lado esquerdo depende só de x e o direito só de y. Podemos integrar ambos os lados.

Passo 3

Escrevemos as integrais correspondentes:
\int x\sin(x)\,dx = \int y e^{y}\,dy.
Vou explicar como calcular cada uma dessas integrais usando a técnica de integração por partes.

Passo 4

Lembrando a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e dv são escolhidos a partir do integrando. Para a integral do lado esquerdo escolhemos
u = x,\qquad dv=\sin(x)\,dx.
Então du = dx e v = -\cos(x). Aplicando a fórmula:
\int x\sin(x)\,dx = uv - \int v\,du = -x\cos(x) - \int (-\cos(x))\,dx.
A última integral é \int \cos(x)\,dx=\sin(x). Portanto
\int x\sin(x)\,dx = -x\cos(x) + \sin(x) + C_1.
Expliquei cada escolha: escolhemos u=x porque sua derivada simplifica e dv=\sin x\,dx porque sua primitiva é simples.

Passo 5

Agora a integral do lado direito:
\int y e^{y}\,dy.
Também usamos integração por partes. Escolhemos
u = y,\qquad dv = e^{y}\,dy,
logo du = dy e v = e^{y}. Aplicando a fórmula:
\int y e^{y}\,dy = y e^{y} - \int e^{y}\,dy = y e^{y} - e^{y} + C_2.
Fatorando e^{y}:
\int y e^{y}\,dy = e^{y}(y-1) + C_2.

Passo 6

Igualando as duas primitivas (podemos reunir as constantes de integração em uma só constante C), temos
-x\cos(x) + \sin(x) + C_1 = e^{y}(y-1) + C_2.
Definindo C = C_2 - C_1 e reorganizando os termos para uma forma limpa, uma forma conveniente da solução implícita geral é
e^{y}(y-1) + x\cos(x) - \sin(x) = C,
onde C é uma constante arbitrária real. Essa é a solução geral implícita da EDO.

Passo 7

Classificação da equação (explicito aqui): trata-se de uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e separável (pois conseguimos escrever todos os termos em função só de x multiplicando dx e só de y multiplicando dy).

Passo 8

Verificação: diferenciamos implicitamente a solução encontrada para checar que recuperamos a equação original. Diferenciando
e^{y}(y-1) + x\cos(x) - \sin(x) = C
em relação a x e usando a regra da cadeia para o termo em y, obtemos
\frac{d}{dx}\big(e^{y}(y-1)\big) + \frac{d}{dx}\big(x\cos x - \sin x\big) = 0.
Calculemos termo a termo. Para o primeiro termo, como função de y,
\frac{d}{dy}\big(e^{y}(y-1)\big)=e^{y}y,
portanto \frac{d}{dx}\big(e^{y}(y-1)\big)=e^{y}y\,\frac{dy}{dx}. Para o segundo termo,
\frac{d}{dx}\big(x\cos x - \sin x\big)=\cos x - x\sin x - \cos x = -x\sin x.
Assim a derivada total dá
e^{y}y\,\frac{dy}{dx} - x\sin x = 0,
ou seja
\frac{dy}{dx} = \frac{x\sin x}{e^{y}y} = \frac{x e^{-y}\sin x}{y}.
Multiplicando por dx e rearranjando, obtemos exatamente a equação original
x e^{-y}\sin(x)\,dx - y\,dy = 0.
Portanto a solução implícita está verificada.

Passo 9

Resumo final didático rápido: para resolver, multiplicamos por e^{y} para eliminar e^{-y}, separamos variáveis em \int x\sin x\,dx = \int y e^{y}\,dy, usamos integração por partes em ambos os lados e obtivemos a solução implícita e^{y}(y-1) + x\cos x - \sin x = C. Verificamos diferenciando implicitamente e recuperando a EDO original.

Resposta

Classificação: equação diferencial ordinária de primeira ordem, separável.
Verificação: a solução implícita verifica a EDO (ver passo 8).
Solução geral: e^{y}(y-1) + x\cos(x) - \sin(x) = C.

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