Classique cada EDO abaixo quanto à ordem e linearidade. Decida se as relações dadas definem soluções para a mesma.
y^prime prime prime prime+4 y^prime prime prime+3 y=t ; y1(t)=t3, y2(t)=e^-t+t3.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
y^(4) + 4y^(3) + 3y = t
e as funções candidatas
y1(t)=t3, y2(t)=e^-t+t3
O objetivo é (i) classificar a EDO quanto à ordem, linearidade e homogeneidade, e (ii) verificar se y1 e y2 são soluções da mesma.

Passo 2

A equação é
y^(4) + 4y^(3) + 3y = t
– A ordem é 4, pois aparece a derivada de quarta ordem y^(4).
– É linear porque y e suas derivadas aparecem apenas em soma e multiplicadas por funções de t (nenhum produto ou função não linear de y).
– É não-homogênea pois o termo independente de y é tneq0.

Passo 3

Verificação de y1(t)=tfract3:
y1'=tfrac13, y1''=0, y1'''=0, y1^(4)=0
Substituindo na EDO:
y1^(4)+4y1^(3)+3y1 =0+4cdot0+3l(tfract3r) =t
Logo y1 satisfaz a equação.

Passo 4

Verificação de y2(t)=e^-t+tfract3:
y2'=-e^-t+tfrac13, y2''=e^-t, y2'''=-e^-t, y2^(4)=e^-t
Logo
y2^(4)+4y2^(3)+3y2 =e^-t+4(-e^-t)+3l(e^-t+tfract3r) =(1-4+3)e^-t+t =t
Portanto y2 também satisfaz a mesma EDO.

Passo 5

Como tanto y1 quanto y2 geram o lado direito t ao serem substituídos na equação, ambas são soluções da mesma EDO. Além disso, y2-y1=e^-t é solução da homogênea associada.

Resposta

A EDO é de ordem 4, linear com coeficientes constantes e não-homogênea. As funções y1(t)=tfract3 e y2(t)=e^-t+tfract3 são ambas soluções dessa mesma equação.

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