Discuta os valores dos limites (podem não existir):
lim (x) (-0) sen(x^2 y^3)x y^2

Passo 1

O enunciado pede o valor de
lim(x,y)to(0,0) sinl(x^2y^3r)x,y^2
que é um problema de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos usar a desigualdade fundamental
l|sin(u)r|<=|u| e o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem).

Passo 2

Aplicando l|sin(u)r|<=|u| com u = x^2y^3, obtemos
l|sin(x^2y^3)r|<= l|x^2y^3r|
Dividindo por l|x,y^2r| (considerando xneq0 e yneq0 na vizinhança do ponto), segue
|sin(x^2y^3)x,y^2| <= l|x^2y^3r|l|x,y^2r| =l|x,yr|

Passo 3

Quando (x,y)to(0,0), claramente l|x,yr|to0. Logo, pelo Teorema do Confronto,
sin(x^2y^3)x,y^2;longrightarrow;0

Passo 4

Para reforçar, escolhemos alguns caminhos:
  1. Reta y=m,x com mneq0: sinl(x^2(m,x)^3r)x,(m,x)^2 =sinl(m^3x^5r)m^2x^3 approxm^3x^5m^2x^3=m,x^2;to;0
  2. Reta x=k,y com kneq0: sinl((k,y)^2y^3r)k,y;y^2 =sinl(k^2y^5r)k,y^3 approxk^2y^5k,y^3=k,y^2;to;0
Em todos os casos o resultado é 0, consistente com o Squeeze.

Resposta

O limite existe e vale 0.

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