Classique cada EDO abaixo quanto à ordem e linearidade. Decida se as relações dadas definem soluções para a mesma.
y^prime=2 x yy-1 ; y-ln y=x^2+1.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Classificar a equação
y' = 2xyy-1
quanto à ordem e linearidade.
2) Verificar se a relação
y - ln y = x^2+1
define (implicitamente) solução para essa mesma EDO.
Para isso vamos usar a definição de ordem (maior derivada presente) e linearidade (se pode ser escrita como combinação linear em y e suas derivadas com coeficientes dependentes só de x), e depois diferenciar a relação dada para testar se ela satisfaz a EDO.

Passo 2

Analisando
y' = 2xyy-1,
a maior derivada que aparece é y', portanto é uma EDO de primeira ordem. Para verificar a linearidade, note que a incógnita y aparece também no denominador e multiplicando y'; não é possível reescrevê-la na forma
a1(x),y' + a0(x),y = b(x)
Logo, essa EDO é não linear.

Passo 3

A relação
y - ln y = x^2+1
não envolve derivadas de y. Em termos de EDO isto seria uma EDO de ordem zero, e ainda por cima com termo ln y é não linear. Mas nosso objetivo não é classificar esta “equação” como EDO, e sim verificar se ela, quando diferenciada, satisfaz a EDO do Passo 2.

Passo 4

Diferenciando implicitamente a relação
y - ln y = x^2 + 1
em relação a x, obtemos
ddxl(yr) ;-;ddxl(ln yr) = 2x Longrightarrow y' - y'y = 2x
Colocando y' em evidência,
y'l(1 - tfrac1yr) = 2x Longrightarrow y' = 2x1 - tfrac1y = 2xyy-1,
que é exatamente a EDO do Passo 2.

Resposta

A equação
y'=2xyy-1
é de primeira ordem e não linear.
A relação
y-ln y=x^2+1
não é uma EDO (ordem zero, não linear), mas ao diferenciá-la surge exatamente
y'=2xyy-1,
logo essa relação define implicitamente a solução geral da EDO dada.

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