Classique cada EDO abaixo quanto à ordem e linearidade. Decida se as relações dadas definem soluções para a mesma.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO
e a relação
Vamos classificar a EDO quanto à ordem e linearidade e depois verificar se a relação implícita é de fato a solução geral dessa EDO.
Passo 2
Para classificar a EDO note que ela envolve apenas a primeira derivada
, portanto é de primeira ordem.
Escrevendo em forma padrão de uma EDO linear:
Escrevendo em forma padrão de uma EDO linear:
vemos que é de forma
y' + p(x),y = 0 , ou seja, é linear e homogênea.
Passo 3
A relação dada pode ser reescrita como
Para checar se isso define uma solução, diferenciamos ambos os lados em relação a
x de modo implícito, impondo que o resultado seja zero.
Passo 4
Use o produto
U = x,y^3 e
V = 1-sin x . Então
Calcule
Substituindo,
Agrupando o termo com
y' :
Passo 5
Isole
y' :
Como
x(1-sin x)=x - xsin x , esse
y' é exatamente o lado direito da EDO original.
Resposta
A EDO é de primeira ordem e linear homogênea. A relação implícita
define exatamente a solução geral dessa EDO.