Classique cada EDO abaixo quanto à ordem e linearidade. Decida se as relações dadas definem soluções para a mesma.
d yd x=y(x cos x+sen x-1)3(x-x sen x) ; x y^3-x y^3 sen x=1.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
dydx = yl(xcos x + sin x - 1r)3l(x - xsin xr)
e a relação
x,y^3 - x,y^3sin x = 1
Vamos classificar a EDO quanto à ordem e linearidade e depois verificar se a relação implícita é de fato a solução geral dessa EDO.

Passo 2

Para classificar a EDO note que ela envolve apenas a primeira derivada dydx, portanto é de primeira ordem.
Escrevendo em forma padrão de uma EDO linear:
dydx - underbracexcos x + sin x - 13(x - xsin x)p(x),y = 0,
vemos que é de forma y' + p(x),y = 0, ou seja, é linear e homogênea.

Passo 3

A relação dada pode ser reescrita como
x,y^3(1 - sin x) = 1
Para checar se isso define uma solução, diferenciamos ambos os lados em relação a x de modo implícito, impondo que o resultado seja zero.

Passo 4

Use o produto U = x,y^3 e V = 1-sin x. Então
ddx[UV] = U'V + UV' = 0
Calcule
U' = ddx(x,y^3) = y^3 + 3x,y^2,dydx, V' = -cos x
Substituindo,
l(y^3 + 3x,y^2,y'r)(1 - sin x) - x,y^3cos x = 0
Agrupando o termo com y':
3x,y^2(1 - sin x),y' + y^3(1 - sin x) - x,y^3cos x = 0

Passo 5

Isole y':
3x,y^2(1 - sin x),y' = -,y^3l(1 - sin x - xcos xr)
Rightarrow y' = -y^3l(1 - sin x - xcos xr)3x,y^2(1 - sin x) = yl(xcos x + sin x - 1r)3x(1 - sin x)
Como x(1-sin x)=x - xsin x, esse y' é exatamente o lado direito da EDO original.

Resposta

A EDO é de primeira ordem e linear homogênea. A relação implícita
x,y^3 - x,y^3sin x = 1
define exatamente a solução geral dessa EDO.

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