Cloreto de sulfurila, \mathrm{SO}_{2} \mathrm{Cl}_{2(g)} se decompõe em fase gasosa, produzindo \mathrm{SO}_{2}(g) e \mathrm{Cl}_{2}(\mathrm{~g}). A concentração de \mathrm{SO}_{2} \mathrm{Cl}_{2(\mathrm{~g})} foi acompanhada em uma experiencia e verificou-se que o gráfico \mathrm{Ln}\left[\mathrm{SO}_{2} \mathrm{Cl}_{2}\right] contra o tempo é linear e que, em 240 segundos, a concentração caiu de 0,4 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} para 0,280 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}.
a) Qual a constante de velocidade da reação \mathrm{SO}_{2} \mathrm{Cl}_{2(g)} \rightarrow \mathrm{SO}_{2(g)+} \mathrm{Cl}_{2(g)}
b) Qual o tempo de meia vida desta reação?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados fornecidos:
  • A reação é \mathrm{SO_2Cl_2(g)} \rightarrow \mathrm{SO_2(g)} + \mathrm{Cl_2(g)}.
  • O gráfico de \ln\left[\mathrm{SO_2Cl_2}\right] versus tempo é linear (informação importante).
  • Em t=0 a concentração inicial é \left[\mathrm{SO_2Cl_2}\right]_0 = \(0,400\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}).
  • Em t=240\\ \mathrm{s} a concentração é \left[\mathrm{SO_2Cl_2}\right]_{240} = \(0,280\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}).
Perguntas:
(a) Qual a constante de velocidade k da reação?
(b) Qual o tempo de meia-vida t_{1/2} desta reação?

Passo 2

Interpretação da informação “gráfico de \ln[\text{A}] vs t é linear” e a lei integrada de primeira ordem.
  • Quando o gráfico de \ln[A] versus t é uma reta, isso indica que a reação segue cinética de primeira ordem em A. Para uma reação de primeira ordem, a lei integrada é:
\ln\left([A]\right) = \ln\left([A]_0\right) - k t
onde:
  • [A] é a concentração em tempo t,
  • [A]_0 é a concentração inicial ( t=0),
  • k é a constante de velocidade (unidade \mathrm{s^{-1}}),
  • t é o tempo (unidade \mathrm{s}).
Também é útil a forma que relaciona razão de concentrações:
\ln\!\left(\dfrac{[A]}{[A]_0}\right) = -k t .

Passo 3

Determinar k usando os dados (aplicar a forma \ln([A]/[A]_0)=-kt).
  • Substituindo [A]_0 = \(0,400\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}), [A]=\(0,280\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}) e t=240\\ \mathrm{s} na equação:
\ln\!\left(\dfrac{0,280}{0,400}\right) = -k\cdot 240.
  • Calcular a razão:
\dfrac{0,280}{0,400} = 0,7.
  • Portanto:
\ln(0,7) = -k\cdot 240.
  • Isolando k:
k = -\dfrac{\ln(0,7)}{240}.
  • Avaliando numericamente \ln(0,7)\approx -0,3566749439, temos
k \approx -\dfrac{-0,3566749439}{240} = \dfrac{0,3566749439}{240} \approx 0,0014869798\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • Arredondando para três algarismos significativos:
k \approx 1,49\times 10^{-3}\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 4

Derivar a expressão do tempo de meia-vida para reação de primeira ordem e explicar o significado.
  • A meia-vida t_{1/2} é o tempo necessário para que [A] caia a metade de [A]_0, ou seja [A]=[A]_0/2.
  • Substituindo [A]=[A]_0/2 na lei integrada:
\ln\!\left(\dfrac{[A]_0/2}{[A]_0}\right) = \ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right) = -k t_{1/2}.
  • Como \ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right) = -\ln 2, obtemos:
-\ln 2 = -k t_{1/2} \quad\Rightarrow\quad t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{k}.
  • Aqui \ln 2 \approx 0,693147. Para cinética de primeira ordem a meia-vida é constante e independe de [A]_0.

Passo 5

Calcular t_{1/2} usando o valor de k encontrado.
  • Usando k \approx 0,0014869798\\ \mathrm{s^{-1}}:
t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{k} \approx \dfrac{0,693147}{0,0014869798} \approx 466,11\\ \mathrm{s}.
  • Arredondando para três algarismos significativos:
t_{1/2} \approx 466\\ \mathrm{s}.
  • Opcionalmente, em minutos:
466\\ \mathrm{s} \approx \dfrac{466}{60}\\ \mathrm{min} \approx 7,77\\ \mathrm{min}.

Resposta

k \approx 1,49\times 10^{-3}\\ \mathrm{s^{-1}}
t_{1/2} \approx 466\\ \mathrm{s}

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