A decomposição em fase gasosa do aldeído acético, também conhecido como acetaldeído, ocorre através de uma cinética de
ordem com velocidade específica de aproximadamente
.s. A partir dessas informações determine:
a) O tempo de meia vida, sabendo que a concentração inicial do aldeído é
b) O tempo necessário para que a concentração deste composto diminua de igual a
a) O tempo de meia vida, sabendo que a concentração inicial do aldeído é
b) O tempo necessário para que a concentração deste composto diminua de igual a
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (o que foi fornecido) e faz estas perguntas (o que pede):
-
Informação fornecida:
- A reação é de ordem dois (segunda ordem) com constante de velocidade aproximadamente
. - Em (b) pede o tempo necessário para que a concentração diminua até
. - O enunciado tenta dar a concentração inicial para (a), mas esse valor não foi efetivamente informado no texto recebido (falta um número para
).
- A reação é de ordem dois (segunda ordem) com constante de velocidade aproximadamente
-
Perguntas:
- (a) Calcular o tempo de meia-vida (
), sabendo que a concentração inicial do aldeído é (valor faltando). - (b) Calcular o tempo necessário para que a concentração atinja
.
- (a) Calcular o tempo de meia-vida (
Observação importante: para obter valores numéricos nas duas perguntas é necessária a concentração inicial
. Essa informação não foi fornecida no enunciado que chegou aqui. Portanto, vou:
- Derivar as fórmulas e explicar passo a passo como calcular numericamente assim que
for conhecida. - Mostrar explicitamente por que não é possível fornecer o número final sem
. - Para fixar a ideia, vou também fazer um exemplo numérico assumindo um
plausível (marcando claramente que é um exemplo e que esse valor foi escolhido por mim).
Passo 2
Modelo e equação diferencial (o que usamos para uma reação de segunda ordem simples A → produtos, com taxa dependente de
).
- A lei diferencial de velocidade para reação de segunda ordem (quando a velocidade é proporcional ao quadrado da concentração de A) é:
Aqui:
-
é a concentração do reagente A em . -
é o tempo em . -
é a constante de velocidade, com unidades para segunda ordem.
Agora vamos integrar essa equação diferencial para obter a forma integrada que relaciona
com
.
Passo 3
Integração da equação diferencial (passo-a-passo didático).
Partimos de
Rearranjando para separar variáveis:
Integramos ambos os lados entre as condições iniciais: em
temos
e em tempo
temos
. A integral fica:
Calcule cada lado: a primitiva de
é
. Então
Isso dá
Multiplicando por
e reordenando obtemos a forma usual:
Essa é a expressão integrada para uma reação de segunda ordem de segunda ordem simples (tendo
constante).
Passo 4
Fórmula da meia-vida para segunda ordem (dedução passo a passo).
- A meia-vida
é o tempo necessário para que a concentração caia de para . - Usamos a forma integrada com
:
Substituindo
:
Calcule o lado esquerdo:
. Então
Subtraindo
de ambos os lados:
Finalmente, isolando
:
Interpretação: para reação de segunda ordem, a meia-vida depende da concentração inicial
(ao contrário da primeira ordem, cujo
é independente de
). Note que as unidades conferem:
tem unidades
,
tem
, então
tem
e
tem unidades de s.
Passo 5
Fórmula geral para o tempo necessário para atingir uma concentração específica (resolvendo para
).
A partir da forma integrada
isolamos
:
No problema (b) a concentração alvo é
. Portanto, a expressão prática é
onde
deve ser fornecida para obter um número.
Passo 6
Aplicação numérica: por que não posso fornecer o número final agora (e confirmação das fórmulas a usar).
- Para (a): a fórmula de meia-vida é
Sem o valor numérico de
não há como calcular um número para
. Portanto não é possível dar o valor numérico pedido em (a) até que
seja informado.
- Para (b): a fórmula para o tempo até
é
Novamente, sem
não se obtém um número final. Então também não é possível dar o valor numérico pedido em (b) sem
.
Passo 7
Exemplo numérico ilustrativo (opcional, para entender e praticar): supondo
.
Vou calcular os dois tempos assumindo
. Atenção: esse valor é um exemplo escolhido por mim só para ilustrar o procedimento — ele pode não corresponder ao que o seu professor deu.
Dados do exemplo:
(a) Meia-vida no exemplo:
Arredondando razoavelmente:
(b) Tempo para
(note que esse é exatamente a metade de
, então espera-se o mesmo valor que
):
Isso confirma que quando a concentração alvo é metade da inicial, o tempo coincide com a meia-vida (coerente com a definição).
Passo 8
Resumo final e instrução prática para a prova (como você faria rapidamente na hora da prova).
- Fórmulas que você deve decorar/usar:
- Para reação de segunda ordem (tipo
produtos) com velocidade : - Meia-vida:
- Tempo para atingir
:
- Para reação de segunda ordem (tipo
- Procedimento prático na prova:
- Verifique a ordem da reação; para segunda ordem use a equação integrada acima.
- Substitua
(verifique unidades) e . Se pedirem , use diretamente . - Se pedirem tempo para
, calcule e divida por .
- Atenção: se o enunciado não der
, informe que não é possível obter um valor numérico e apresente as fórmulas simbólicas (como eu fiz acima).
Resposta
a)
. (Não é possível dar valor numérico porque falta
.)
b) . (Não é possível dar valor numérico porque falta
.)
b)