A decomposição em fase gasosa do aldeído acético, também conhecido como acetaldeído, ocorre através de uma cinética de 2^{\underline{a}} ordem com velocidade específica de aproximadamente 0,3 \mathrm{~L} / \mathrm{mol}.s. A partir dessas informações determine:
a) O tempo de meia vida, sabendo que a concentração inicial do aldeído é
b) O tempo necessário para que a concentração deste composto diminua de igual a 0,05 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (o que foi fornecido) e faz estas perguntas (o que pede):
  • Informação fornecida:
    • A reação é de ordem dois (segunda ordem) com constante de velocidade aproximadamente k = 0{,}3\\ \mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\mathrm{s}^{-1}.
    • Em (b) pede o tempo necessário para que a concentração diminua até 0{,}05\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}.
    • O enunciado tenta dar a concentração inicial para (a), mas esse valor não foi efetivamente informado no texto recebido (falta um número para [A]_0).
  • Perguntas:
    • (a) Calcular o tempo de meia-vida ( t_{1/2}), sabendo que a concentração inicial do aldeído é (valor faltando).
    • (b) Calcular o tempo necessário para que a concentração atinja 0{,}05\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}.
Observação importante: para obter valores numéricos nas duas perguntas é necessária a concentração inicial [A]_0. Essa informação não foi fornecida no enunciado que chegou aqui. Portanto, vou:
  • Derivar as fórmulas e explicar passo a passo como calcular numericamente assim que [A]_0 for conhecida.
  • Mostrar explicitamente por que não é possível fornecer o número final sem [A]_0.
  • Para fixar a ideia, vou também fazer um exemplo numérico assumindo um [A]_0 plausível (marcando claramente que é um exemplo e que esse valor foi escolhido por mim).

Passo 2

Modelo e equação diferencial (o que usamos para uma reação de segunda ordem simples A → produtos, com taxa dependente de [A]^2).
  • A lei diferencial de velocidade para reação de segunda ordem (quando a velocidade é proporcional ao quadrado da concentração de A) é:
-\,\frac{d[A]}{dt}=k\,[A]^2.
Aqui:
  • [A] é a concentração do reagente A em \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}.
  • t é o tempo em \mathrm{s}.
  • k é a constante de velocidade, com unidades \mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\mathrm{s}^{-1} para segunda ordem.
Agora vamos integrar essa equação diferencial para obter a forma integrada que relaciona [A] com t.

Passo 3

Integração da equação diferencial (passo-a-passo didático).
Partimos de
-\,\frac{d[A]}{dt}=k\,[A]^2.
Rearranjando para separar variáveis:
\frac{d[A]}{[A]^2}=-k\,dt.
Integramos ambos os lados entre as condições iniciais: em t=0 temos [A]=[A]_0 e em tempo t temos [A]=[A](t). A integral fica:
\int_{[A]_0}^{[A](t)} \frac{d[A]}{[A]^2} = -\int_{0}^{t} k\,dt.
Calcule cada lado: a primitiva de [A]^{-2} é -[A]^{-1}. Então
\left[-\frac{1}{[A]}\right]_{[A]_0}^{[A](t)} = -k\,[t]_0^{t}.
Isso dá
-\frac{1}{[A](t)} + \frac{1}{[A]_0} = -k\,t.
Multiplicando por -1 e reordenando obtemos a forma usual:
\frac{1}{[A](t)} = k\,t + \frac{1}{[A]_0}.
Essa é a expressão integrada para uma reação de segunda ordem de segunda ordem simples (tendo k constante).

Passo 4

Fórmula da meia-vida para segunda ordem (dedução passo a passo).
  • A meia-vida t_{1/2} é o tempo necessário para que a concentração caia de [A]_0 para \dfrac{[A]_0}{2}.
  • Usamos a forma integrada com [A](t_{1/2})=\dfrac{[A]_0}{2}:
\frac{1}{[A](t_{1/2})}=k\,t_{1/2}+\frac{1}{[A]_0}.
Substituindo [A](t_{1/2})=\dfrac{[A]_0}{2}:
\frac{1}{[A]_0/2}=k\,t_{1/2}+\frac{1}{[A]_0}.
Calcule o lado esquerdo: \dfrac{1}{[A]_0/2}=\dfrac{2}{[A]_0}. Então
\frac{2}{[A]_0}=k\,t_{1/2}+\frac{1}{[A]_0}.
Subtraindo \dfrac{1}{[A]_0} de ambos os lados:
\frac{1}{[A]_0}=k\,t_{1/2}.
Finalmente, isolando t_{1/2}:
t_{1/2}=\frac{1}{k\,[A]_0}.
Interpretação: para reação de segunda ordem, a meia-vida depende da concentração inicial [A]_0 (ao contrário da primeira ordem, cujo t_{1/2} é independente de [A]_0). Note que as unidades conferem: k tem unidades \mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\mathrm{s}^{-1}, [A]_0 tem \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}, então k\,[A]_0 tem \mathrm{s}^{-1} e t_{1/2} tem unidades de s.

Passo 5

Fórmula geral para o tempo necessário para atingir uma concentração específica (resolvendo para t).
A partir da forma integrada
\frac{1}{[A](t)} = k\,t + \frac{1}{[A]_0},
isolamos t:
t = \frac{\dfrac{1}{[A](t)} - \dfrac{1}{[A]_0}}{k}.
No problema (b) a concentração alvo é [A](t)=0{,}05\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}. Portanto, a expressão prática é
t = \frac{\dfrac{1}{0{,}05} - \dfrac{1}{[A]_0}}{k},
onde [A]_0 deve ser fornecida para obter um número.

Passo 6

Aplicação numérica: por que não posso fornecer o número final agora (e confirmação das fórmulas a usar).
  • Para (a): a fórmula de meia-vida é
t_{1/2}=\frac{1}{k\,[A]_0}.
Sem o valor numérico de [A]_0 não há como calcular um número para t_{1/2}. Portanto não é possível dar o valor numérico pedido em (a) até que [A]_0 seja informado.
  • Para (b): a fórmula para o tempo até [A]=0{,}05\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1} é
t=\frac{\dfrac{1}{0{,}05}-\dfrac{1}{[A]_0}}{k}.
Novamente, sem [A]_0 não se obtém um número final. Então também não é possível dar o valor numérico pedido em (b) sem [A]_0.

Passo 7

Exemplo numérico ilustrativo (opcional, para entender e praticar): supondo [A]_0=0{,}10\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}.
Vou calcular os dois tempos assumindo [A]_0=0{,}10\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}. Atenção: esse valor é um exemplo escolhido por mim só para ilustrar o procedimento — ele pode não corresponder ao que o seu professor deu.
Dados do exemplo:
k=0{,}3\\ \mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\mathrm{s}^{-1},\qquad [A]_0=0{,}10\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}.
(a) Meia-vida no exemplo:
t_{1/2}=\frac{1}{k\,[A]_0}=\frac{1}{0{,}3\times 0{,}10}=\frac{1}{0{,}03}=33{,}333\ldots\\ \mathrm{s}.
Arredondando razoavelmente:
t_{1/2}\approx 33{,}3\\ \mathrm{s}.
(b) Tempo para [A]=0{,}05\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1} (note que esse é exatamente a metade de 0{,}10, então espera-se o mesmo valor que t_{1/2}):
t=\frac{\dfrac{1}{0{,}05}-\dfrac{1}{0{,}10}}{0{,}3}=\frac{20-\;10}{0{,}3}=\frac{10}{0{,}3}=33{,}333\ldots\\ \mathrm{s}\approx 33{,}3\\ \mathrm{s}.
Isso confirma que quando a concentração alvo é metade da inicial, o tempo coincide com a meia-vida (coerente com a definição).

Passo 8

Resumo final e instrução prática para a prova (como você faria rapidamente na hora da prova).
  • Fórmulas que você deve decorar/usar:
    • Para reação de segunda ordem (tipo A\to produtos) com velocidade v=k[A]^2: \frac{1}{[A](t)} = k\,t + \frac{1}{[A]_0}.
    • Meia-vida: t_{1/2}=\frac{1}{k\,[A]_0}.
    • Tempo para atingir [A]=[A]_f: t=\frac{\dfrac{1}{[A]_f}-\dfrac{1}{[A]_0}}{k}.
  • Procedimento prático na prova:
    1. Verifique a ordem da reação; para segunda ordem use a equação integrada acima.
    2. Substitua k (verifique unidades) e [A]_0. Se pedirem t_{1/2}, use diretamente t_{1/2}=1/(k[A]_0).
    3. Se pedirem tempo para [A]_f, calcule 1/[A]_f - 1/[A]_0 e divida por k.
  • Atenção: se o enunciado não der [A]_0, informe que não é possível obter um valor numérico e apresente as fórmulas simbólicas (como eu fiz acima).

Resposta

a) t_{1/2}=\dfrac{1}{k\,[A]_0}. (Não é possível dar valor numérico porque falta [A]_0.)
b) t=\dfrac{\dfrac{1}{0{,}05}-\dfrac{1}{[A]_0}}{k}. (Não é possível dar valor numérico porque falta [A]_0.)

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