O clorpirifós é um pesticida da classe dos organofosforados que inibe a transmissão dos receptores causando envenenamento por colapso do sistema nervoso do inseto. Esse pesticida é amplamente utilizado no controle de pragas para o cultivo de frutas e vegetais. Foram realizados experimentos químicos para medir a quantidade de clorpirifós em diferentes amostras de alface. Os valores obtidos para a concentração desse produto químico em 15 amostras diferentes foram: 40,42,45,47,50,52,55, 57, 58, 59, 59, 60, 60, 60, 60 ng L-1. Calcule a variância

Passo 1

O enunciado pede: “Calcule a variância” para as 15 amostras cujas concentrações (em ng L^{-1}) são:
40,\;42,\;45,\;47,\;50,\;52,\;55,\;57,\;58,\;59,\;59,\;60,\;60,\;60,\;60.
Informações relevantes fornecidas:
\text{dados } x_1,\dots,x_{15} \text{ (lista acima)}.
Não há nenhuma outra informação no enunciado (por exemplo, se devemos usar variância populacional ou amostral), então vou explicitar a escolha do método no passo seguinte.

Passo 2

Escolha do método: como os valores vêm de 15 amostras, isso geralmente significa que temos uma amostra de uma população maior. Para estimar a variância da população a partir de uma amostra, o procedimento básico e mais utilizado é calcular a variância amostral não viciada, que usa o denominador n-1. Vou seguir esse procedimento porque é o método padrão em problemas de inferência estatística e é o método que normalmente aparece em provas quando se fala apenas “calcule a variância” para um conjunto de amostras.
Definições e fórmulas (aula rápida):
  • n é o número de observações na amostra.
  • \bar{x} é a média amostral, definida por
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i,
onde x_i são as observações.
  • A soma dos quadrados das diferenças em relação à média é
\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2.
  • A variância amostral (estimador não viciado) é
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2.
Aqui s^2 tem unidades (\text{ng L}^{-1})^2. Vou calcular \bar{x}, depois cada (x_i-\bar{x})^2, somar e aplicar a fórmula acima.

Passo 3

Calcular n e a média amostral \bar{x}.
O número de observações é
n=15.
Somando todos os valores (mostro a soma usada):
\sum_{i=1}^{15} x_i = 40+42+45+47+50+52+55+57+58+59+59+60+60+60+60 = 804.
Logo a média é
\bar{x}=\frac{804}{15}=53,6.

Passo 4

Calcular as diferenças (x_i-\bar{x}) e seus quadrados (x_i-\bar{x})^2 para cada observação (todos os cálculos em \text{ng L}^{-1} e (\text{ng L}^{-1})^2):
\begin{aligned} x_1&=40,& x_1-\bar{x}&=40-53,6=-13,6,& (x_1-\bar{x})^2&=184,96,\\\ x_2&=42,& x_2-\bar{x}&=42-53,6=-11,6,& (x_2-\bar{x})^2&=134,56,\\\ x_3&=45,& x_3-\bar{x}&=45-53,6=-8,6,& (x_3-\bar{x})^2&=73,96,\\\ x_4&=47,& x_4-\bar{x}&=47-53,6=-6,6,& (x_4-\bar{x})^2&=43,56,\\\ x_5&=50,& x_5-\bar{x}&=50-53,6=-3,6,& (x_5-\bar{x})^2&=12,96,\\\ x_6&=52,& x_6-\bar{x}&=52-53,6=-1,6,& (x_6-\bar{x})^2&=2,56,\\\ x_7&=55,& x_7-\bar{x}&=55-53,6=1,4,& (x_7-\bar{x})^2&=1,96,\\\ x_8&=57,& x_8-\bar{x}&=57-53,6=3,4,& (x_8-\bar{x})^2&=11,56,\\\ x_9&=58,& x_9-\bar{x}&=58-53,6=4,4,& (x_9-\bar{x})^2&=19,36,\\\ x_{10}&=59,& x_{10}-\bar{x}&=59-53,6=5,4,& (x_{10}-\bar{x})^2&=29,16,\\\ x_{11}&=59,& x_{11}-\bar{x}&=59-53,6=5,4,& (x_{11}-\bar{x})^2&=29,16,\\\ x_{12}&=60,& x_{12}-\bar{x}&=60-53,6=6,4,& (x_{12}-\bar{x})^2&=40,96,\\\ x_{13}&=60,& x_{13}-\bar{x}&=6,4,& (x_{13}-\bar{x})^2&=40,96,\\\ x_{14}&=60,& x_{14}-\bar{x}&=6,4,& (x_{14}-\bar{x})^2&=40,96,\\\ x_{15}&=60,& x_{15}-\bar{x}&=6,4,& (x_{15}-\bar{x})^2&=40,96. \end{aligned}

Passo 5

Somar todos os quadrados das diferenças:
\sum_{i=1}^{15} (x_i-\bar{x})^2 = 184,96+134,56+73,96+43,56+12,96+2,56+1,96+11,56+19,36+29,16+29,16+40,96+40,96+40,96+40,96.
Fazendo a soma obtemos
\sum_{i=1}^{15} (x_i-\bar{x})^2 = 707,6.
(Verificação alternativa: usando \sum x_i^2 - n\bar{x}^2 dá o mesmo resultado.)

Passo 6

Aplicar a fórmula da variância amostral não viciada:
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2=\frac{707,6}{15-1}=\frac{707,6}{14}.
Fazendo a divisão:
s^2=\frac{707,6}{14}\approx 50,542857\ldots
Arredondando para duas casas decimais (prática comum em provas):
s^2\approx 50,54\\ \text{(ng L}^{-1}\text{)}^2.

Resposta

s^2\approx 50,54\\ \text{(ng L}^{-1}\text{)}^2

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