Um método de análise produz massa de ouro 0,4 \mathrm{mg} mais baixas que o esperado. Calcule o erro relativo percentual provocado por esse resultado se a massa de ouro for de (a) 500 mg ; (b) 250 mg ; (c) 125 mg e (d) 60 mg . (e) Qual a melhor massa de amostra a ser utilizada e por quê?

Passo 1

O enunciado diz que um método de análise produz uma massa de ouro 0,4\\ \mathrm{mg} mais baixa que o esperado. Preciso calcular o erro relativo percentual causado por esse desvio quando a massa verdadeira (esperada) for, separadamente:
(a) 500\\ \mathrm{mg};
(b) 250\\ \mathrm{mg};
(c) 125\\ \mathrm{mg};
(d) 60\\ \mathrm{mg}.
(e) Depois, indicar qual é a melhor massa de amostra entre essas opções e explicar o porquê.
Informações relevantes fornecidas:
  • Erro absoluto (desvio) = 0,4\\ \mathrm{mg} (o resultado ficou 0,4\\ \mathrm{mg} abaixo do esperado).
  • Massas verdadeiras a considerar: 500\\ \mathrm{mg}, 250\\ \mathrm{mg}, 125\\ \mathrm{mg}, 60\\ \mathrm{mg}.
  • Pedido: erro relativo percentual para cada massa e escolha da melhor massa de amostra com justificativa.

Passo 2

Definindo conceitos e a fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Erro absoluto: diferença entre o valor medido e o valor verdadeiro. Aqui já nos deram o erro absoluto como E_a = 0,4\\ \mathrm{mg}. Vou usar valor absoluto porque o interesse em erro relativo percentual normalmente é sobre a magnitude do desvio, independentemente do sinal.
  • Erro relativo (sem ser percentual) é a razão entre o erro absoluto e o valor verdadeiro (massa esperada). Se chamarmos a massa verdadeira de m, então
E_r = \frac{E_a}{m}.
Aqui E_a é medido em \mathrm{mg} e m também, então E_r é adimensional (sem unidade).
  • Erro relativo percentual converte E_r em porcentagem multiplicando por 100\%. Assim a fórmula final que vamos aplicar é
\text{erro relativo percentual} = \frac{E_a}{m}\times 100\%.
Explicando cada símbolo:
  • E_a é o erro absoluto (aqui 0,4\\ \mathrm{mg});
  • m é a massa verdadeira da amostra em \mathrm{mg};
  • o fator 100\% transforma a fração em porcentagem.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso (a) com m = 500\\ \mathrm{mg}.
Passos de conta explícitos:
E_a = 0,4\\ \mathrm{mg},\qquad m = 500\\ \mathrm{mg}.
Calculamos a razão:
E_r = \frac{0,4}{500} = 0,0008.
Transformando em porcentagem:
\frac{0,4}{500}\times 100\% = 0,0008\times 100\% = 0,08\%.
Portanto o erro relativo percentual para m=500\\ \mathrm{mg} é 0,08\%.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao caso (b) com m = 250\\ \mathrm{mg}.
Passos de conta:
E_a = 0,4\\ \mathrm{mg},\qquad m = 250\\ \mathrm{mg}.
E_r = \frac{0,4}{250} = 0,0016.
\frac{0,4}{250}\times 100\% = 0,0016\times 100\% = 0,16\%.
Logo o erro relativo percentual para m=250\\ \mathrm{mg} é 0,16\%.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao caso (c) com m = 125\\ \mathrm{mg}.
Passos de conta:
E_a = 0,4\\ \mathrm{mg},\qquad m = 125\\ \mathrm{mg}.
E_r = \frac{0,4}{125} = 0,0032.
\frac{0,4}{125}\times 100\% = 0,0032\times 100\% = 0,32\%.
Portanto o erro relativo percentual para m=125\\ \mathrm{mg} é 0,32\%.

Passo 6

Aplicando a fórmula ao caso (d) com m = 60\\ \mathrm{mg}.
Passos de conta:
E_a = 0,4\\ \mathrm{mg},\qquad m = 60\\ \mathrm{mg}.
E_r = \frac{0,4}{60} = \frac{4}{600} = \frac{1}{150}\approx 0,006666\ldots
\frac{0,4}{60}\times 100\% \approx 0,006666\ldots\times 100\% = 0,6666\ldots\% \approx 0,67\%.
Uma forma exata é \tfrac{2}{3}\%, já que 0,666\ldots\% = \tfrac{2}{3}\%. Assim o erro relativo percentual para m=60\\ \mathrm{mg} é aproximadamente 0,67\% (ou exatamente \tfrac{2}{3}\%).

Passo 7

Resposta à pergunta (e): qual a melhor massa de amostra e por quê?
Raciocínio didático:
  • A fórmula do erro relativo percentual é \dfrac{E_a}{m}\times 100\%. Mantendo o mesmo erro absoluto E_a, quanto maior for m, menor será a razão \dfrac{E_a}{m} e, portanto, menor será o erro percentual.
  • Entre as massas dadas ( 500\\ \mathrm{mg}, 250\\ \mathrm{mg}, 125\\ \mathrm{mg}, 60\\ \mathrm{mg}), a maior é 500\\ \mathrm{mg}. Como vimos no cálculo, para 500\\ \mathrm{mg} o erro percentual é o menor ( 0,08\%).
    Conclusão: a melhor massa de amostra a ser utilizada dentre as opções é 500\\ \mathrm{mg}, porque ela minimiza o erro relativo percentual causado pelo desvio fixo de 0,4\\ \mathrm{mg}.

Resposta

(a) 0,08\%
(b) 0,16\%
(c) 0,32\%
(d) 0,67\% (aproximadamente; exatamente \tfrac{2}{3}\%)
(e) Melhor massa: 500\\ \mathrm{mg}, porque para massa maior o mesmo erro absoluto produz menor erro relativo percentual.

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