Um método de análise produz massa de ouro
mais baixas que o esperado. Calcule o erro relativo percentual provocado por esse resultado se a massa de ouro for de (a) 500 mg ; (b) 250 mg ; (c) 125 mg e (d) 60 mg . (e) Qual a melhor massa de amostra a ser utilizada e por quê?
Passo 1
O enunciado diz que um método de análise produz uma massa de ouro
mais baixa que o esperado. Preciso calcular o erro relativo percentual causado por esse desvio quando a massa verdadeira (esperada) for, separadamente:
(a) ;
(b) ;
(c) ;
(d) .
(e) Depois, indicar qual é a melhor massa de amostra entre essas opções e explicar o porquê.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Depois, indicar qual é a melhor massa de amostra entre essas opções e explicar o porquê.
Informações relevantes fornecidas:
- Erro absoluto (desvio) =
(o resultado ficou abaixo do esperado). - Massas verdadeiras a considerar:
, , , . - Pedido: erro relativo percentual para cada massa e escolha da melhor massa de amostra com justificativa.
Passo 2
Definindo conceitos e a fórmula que vamos usar (explicação didática):
- Erro absoluto: diferença entre o valor medido e o valor verdadeiro. Aqui já nos deram o erro absoluto como
. Vou usar valor absoluto porque o interesse em erro relativo percentual normalmente é sobre a magnitude do desvio, independentemente do sinal. - Erro relativo (sem ser percentual) é a razão entre o erro absoluto e o valor verdadeiro (massa esperada). Se chamarmos a massa verdadeira de
, então
Aqui
é medido em
e
também, então
é adimensional (sem unidade).
- Erro relativo percentual converte
em porcentagem multiplicando por . Assim a fórmula final que vamos aplicar é
Explicando cada símbolo:
-
é o erro absoluto (aqui ); -
é a massa verdadeira da amostra em ; - o fator
transforma a fração em porcentagem.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso (a) com
.
Passos de conta explícitos:
Calculamos a razão:
Transformando em porcentagem:
Portanto o erro relativo percentual para
é
.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao caso (b) com
.
Passos de conta:
Logo o erro relativo percentual para
é
.
Passo 5
Aplicando a fórmula ao caso (c) com
.
Passos de conta:
Portanto o erro relativo percentual para
é
.
Passo 6
Aplicando a fórmula ao caso (d) com
.
Passos de conta:
Uma forma exata é
, já que
. Assim o erro relativo percentual para
é aproximadamente
(ou exatamente
).
Passo 7
Resposta à pergunta (e): qual a melhor massa de amostra e por quê?
Raciocínio didático:
- A fórmula do erro relativo percentual é
. Mantendo o mesmo erro absoluto , quanto maior for , menor será a razão e, portanto, menor será o erro percentual. - Entre as massas dadas (
, , , ), a maior é . Como vimos no cálculo, para o erro percentual é o menor ( ).
Conclusão: a melhor massa de amostra a ser utilizada dentre as opções é, porque ela minimiza o erro relativo percentual causado pelo desvio fixo de .
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) (aproximadamente; exatamente
)
(e) Melhor massa: , porque para massa maior o mesmo erro absoluto produz menor erro relativo percentual.
(b)
(c)
(d)
(e) Melhor massa: