(UECE/SEDUC-CE/2018) No sistema de numeração decimal, o número inteiro representado pelo produto
é formado por
algarismos. O número n é igual a
(a) 14
(b) 12
(c) 13
(d) 11
(a) 14
(b) 12
(c) 13
(d) 11
Passo 1
O enunciado dá o produto
e pede quantos algarismos (isto é, o valor de
) tem o inteiro representado por esse produto. As opções são
. Vou listar claramente o que foi dado:
- Dado: o número é
. - Pedido: encontrar
, o número de algarismos desse inteiro.
Passo 2
Estratégia que vou usar (sem fórmulas complicadas): fatorar
e
em potências de
e
para formar potências de
. A vantagem é que cada fator
acrescenta um zero no final do número decimal, e contar zeros facilita achar quantos dígitos há no total. Isso é um método elementar e rápido, bom para prova sem calculadora.
Passo 3
Fatoração em primos:
-
, logo . -
, logo .
Portanto
Passo 4
Reescrever agrupando potências iguais em
. Como
, cada par
dá um fator de
. Temos
e
, então podemos emparelhar
dez vezes (pois o menor expoente entre 21 e 10 é 10):
Passo 5
Agora calcule
de forma bem prática (dobrando):
Logo o número é
.
Passo 6
Interpretação decimal: multiplicar por
acrescenta
zeros ao final de
. Assim o inteiro é o dígito-sequência “2048” seguido de
zeros. O número de algarismos é o número de algarismos de
mais
. Como
tem
algarismos, o total de algarismos é
.
(Comentário rápido: uma alternativa geral é usar que o número de algarismos de um inteiro positivo é
, mas aqui a fatoração em potências de
é mais direta.)
(Comentário rápido: uma alternativa geral é usar que o número de algarismos de um inteiro positivo