(UECE/SEDUC-CE/2018) No sistema de numeração decimal, o número inteiro representado pelo produto 8^{7} \cdot 25^{5} é formado por n algarismos. O número n é igual a
(a) 14
(b) 12
(c) 13
(d) 11

Passo 1

O enunciado dá o produto 8^{7}\cdot25^{5} e pede quantos algarismos (isto é, o valor de n) tem o inteiro representado por esse produto. As opções são 14,12,13,11. Vou listar claramente o que foi dado:
  • Dado: o número é 8^{7}\cdot25^{5}.
  • Pedido: encontrar n, o número de algarismos desse inteiro.

Passo 2

Estratégia que vou usar (sem fórmulas complicadas): fatorar 8 e 25 em potências de 2 e 5 para formar potências de 10. A vantagem é que cada fator 10 acrescenta um zero no final do número decimal, e contar zeros facilita achar quantos dígitos há no total. Isso é um método elementar e rápido, bom para prova sem calculadora.

Passo 3

Fatoração em primos:
  • 8=2^{3}, logo 8^{7}=(2^{3})^{7}=2^{21}.
  • 25=5^{2}, logo 25^{5}=(5^{2})^{5}=5^{10}.
Portanto
8^{7}\cdot25^{5}=2^{21}\cdot5^{10}.

Passo 4

Reescrever agrupando potências iguais em 10. Como 10=2\cdot5, cada par 2\cdot5 dá um fator de 10. Temos 2^{21} e 5^{10}, então podemos emparelhar 10 dez vezes (pois o menor expoente entre 21 e 10 é 10):
2^{21}\cdot5^{10}=2^{11}\cdot(2^{10}\cdot5^{10})=2^{11}\cdot10^{10}.

Passo 5

Agora calcule 2^{11} de forma bem prática (dobrando):
2^{1}=2,\;2^{2}=4,\;2^{3}=8,\;2^{4}=16,\;2^{5}=32,\;2^{6}=64,
2^{7}=128,\;2^{8}=256,\;2^{9}=512,\;2^{10}=1024,\;2^{11}=2048.
Logo o número é 2048\cdot10^{10}.

Passo 6

Interpretação decimal: multiplicar por 10^{10} acrescenta 10 zeros ao final de 2048. Assim o inteiro é o dígito-sequência “2048” seguido de 10 zeros. O número de algarismos é o número de algarismos de 2048 mais 10. Como 2048 tem 4 algarismos, o total de algarismos é 4+10=14.
(Comentário rápido: uma alternativa geral é usar que o número de algarismos de um inteiro positivo N é \lfloor\log_{10}N\rfloor+1, mas aqui a fatoração em potências de 10 é mais direta.)

Resposta

14

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