1. [CNT_x_15]A meia-vida para o decaimento radioativo do U-238 é 4,5 bilhões de anos e é independente da concentração inicial. Quanto tempo vai levar para 10% dos átomos de U-238 em uma amostra de U-238 decaírem? Se uma amostra de U-238 contivesse inicial mente 1,5 \times 10^{18} átomos quando o universo foi formado, há 13,8 bilhões de anos, quantos átomos de U-238 ela ainda contém?

Passo 1

O enunciado trata do decaimento radioativo do U- 238, cuja meia-vida é de 4,5\times10^9 anos e independe da concentração inicial. Pede:
(a) o tempo necessário para que 10 % dos átomos decaiam (isto é, reste 90 %);
(b) quantos átomos restam hoje se, há 13,8\times10^9 anos, havia 1,5\times10^{18} átomos.
O conteúdo envolve o modelo exponencial de decaimento, constante de decaimento e uso de logaritmos.

Passo 2

No decaimento radioativo vale
N(t) = N_0\,e^{-\lambda t},
onde \lambda é a constante de decaimento. Como conhecemos a meia-vida T_{1/2}, temos
\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}
e, alternativamente,
N(t)=N_0\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{t/T_{1/2}}.

Passo 3

Para (a), queremos que reste 90 % dos átomos, ou seja
\frac{N(t)}{N_0}=0,9 \qquad\Longrightarrow\qquad e^{-\lambda t}=0,9.
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t=-\frac{\ln(0,9)}{\lambda} =-\frac{\ln(0,9)}{\ln2/(4,5\times10^9)} \approx4,5\times10^9\cdot\frac{0,10536}{0,69315} \approx0,684\times10^9\text{ anos} \approx6,8\times10^8\text{ anos}.

Passo 4

Para (b), aplicamos
N(13,8\times10^9) =1,5\times10^{18}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{\frac{13,8\times10^9}{4,5\times10^9}} =1,5\times10^{18}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{3,067} \approx1,5\times10^{18}\,e^{-3,067\ln2} \approx1,5\times10^{18}\times0,120 \approx1,8\times10^{17}\text{ átomos}.á

Resposta

(a) t\approx6,8\times10^8 anos.
(b) Aproximadamente 1,8\times10^{17} átomos.

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