Cobb e Douglas usaram a equação P(L, K)=1,01 L^{0,75} K^{0,25} para o modelo de economia norte-americana de 1899 a 1922, onde L é a quantidade de trabalho e K, a quantidade de capital. (Veja o Exemplo 3 na Seção 14.1.)
(a) Calcule P_{L} e P_{K}.
(b) Encontre a produtividade marginal de trabalho e a produtividade marginal de capital no ano de 1920, quando L=194 e K=407 (em comparação com os valores atribuídos L=100 e K=100 em 1899). Interprete os resultados.

Passo 1

O enunciado dá a função de produção
P(L,K)=1,01\,L^{0,75}K^{0,25},
onde \,L é trabalho e \,K é capital. Pede-se:
(a) calcular as derivadas parciais P_{L} e P_{K};
(b) avaliar a produtividade marginal de trabalho e de capital no ano de 1920, quando \,L=194 e \,K=407 (sabendo que em 1899 foi escolhido \,L=100 e \,K=100 como pontos de referência).
Informações dadas relevantes: a expressão de P(L,K) e os valores \,L=194, \,K=407 para 1920; também o L=100,K=100 de 1899 como referência.

Passo 2

Conceito necessário: derivada parcial. Explicação didática e regra usada.
  • A derivada parcial \,P_{L}(L,K) significa: como muda P quando fazemos uma pequena variação em L, mantendo K fixo.
  • Para diferenciar potências usamos a regra do poder (power rule): se f(x)=x^{n} então f'(x)=n x^{n-1}. Aqui a mesma regra vale quando diferenciamos em relação a uma variável, tratando a outra como constante.
  • Ao diferenciar uma constante multiplicativa, ela permanece multiplicando o resultado.

Passo 3

Cálculo detalhado de \,P_{L}.
Começamos por aplicar a regra do poder em L^{0,75}, tratando K^{0,25} e 1,01 como constantes:
P_{L}(L,K)=1,01\cdot 0,75\;L^{0,75-1}\;K^{0,25}.
Agora simplificamos os coeficientes e o expoente:
1,01\cdot 0,75=0,7575
e
0,75-1=-0,25.
Logo
P_{L}(L,K)=0,7575\,L^{-0,25}K^{0,25}.
Interpretação da forma: o expoente negativo significa L^{-0,25}=1/L^{0,25}. Podemos também escrever em forma de razão:
P_{L}(L,K)=0,7575\left(\frac{K}{L}\right)^{0,25},
pois L^{-0,25}K^{0,25}=(K/L)^{0,25}. Note que x^{0,25} é a quarta raiz de x.

Passo 4

Cálculo detalhado de \,P_{K}.
Aplicamos a regra do poder em K^{0,25}, tratando L^{0,75} e 1,01 como constantes:
P_{K}(L,K)=1,01\cdot 0,25\;L^{0,75}\;K^{0,25-1}.
Simplificando coeficiente e expoente:
1,01\cdot 0,25=0,2525
e
0,25-1=-0,75.
Logo
P_{K}(L,K)=0,2525\,L^{0,75}K^{-0,75}.
Também podemos escrever em termos de razão:
P_{K}(L,K)=0,2525\left(\frac{L}{K}\right)^{0,75},
pois L^{0,75}K^{-0,75}=(L/K)^{0,75}.

Passo 5

Avaliação numérica em (L,K)=(194,407) — passo a passo com aproximações fáceis de fazer sem calculadora avançada.
Usamos as fórmulas simplificadas:
P_{L}(194,407)=0,7575\left(\frac{407}{194}\right)^{0,25}, \qquad P_{K}(194,407)=0,2525\left(\frac{194}{407}\right)^{0,75}.
Calculemos as razões:
\frac{407}{194}\approx 2,098969\approx 2,099, \qquad \frac{194}{407}\approx 0,4769.
Cálculo de \left(\dfrac{407}{194}\right)^{0,25} (quarta raiz de 2,099):
  • Primeiro compute a raiz quadrada: \sqrt{2,099}\approx 1,448 (pois 1,448^{2}\approx 2,0967).
  • Em seguida a quarta raiz é \sqrt{1,448}\approx 1,203 (pois 1,203^{2}\approx 1,447).
    Portanto \left(\dfrac{407}{194}\right)^{0,25}\approx 1,203.
    Multiplicando:
P_{L}(194,407)\approx 0,7575\times 1,203\approx 0,911.
Cálculo de \left(\dfrac{194}{407}\right)^{0,75}:
  • Podemos calcular \left(\dfrac{194}{407}\right)^{0,75}=\left(\left(\dfrac{194}{407}\right)^{0,25}\right)^{3}.
  • Já vimos que a quarta raiz de 0,4769 é aproximadamente 0,8313 (pois \sqrt{0,4769}\approx 0,6906 e \sqrt{0,6906}\approx 0,8313).
  • Então \left(\dfrac{194}{407}\right)^{0,75}\approx 0,8313^{3}\approx 0,5745.
    Multiplicando:
P_{K}(194,407)\approx 0,2525\times 0,5745\approx 0,145.

Passo 6

Interpretação econômica e comparação com 1899.
  • Significado: P_{L}(194,407)\approx 0,911 significa que, em 1920, um aumento infinitesimal de 1 unidade de trabalho (mantendo K fixo) aumenta a produção P em aproximadamente 0,911 unidades de produção. Analogamente, P_{K}(194,407)\approx 0,145 significa que um aumento infinitesimal de 1 unidade de capital (mantendo L fixo) aumenta P em aproximadamente 0,145 unidades.
  • Comparação com 1899 ( L=100,K=100): em (100,100) temos (K/L)^{0,25}=1 e (L/K)^{0,75}=1, então
P_{L}(100,100)=0,7575,\qquad P_{K}(100,100)=0,2525.
Comparando: a produtividade marginal do trabalho passou de 0,7575 (1899) para 0,911 (1920) — aumento de cerca de 20{,}3\%. A produtividade marginal do capital caiu de 0,2525 para 0,145 — queda de cerca de 42{,}5\%.
  • Interpretação intuitiva: como o capital cresceu relativamente mais (de 100 para 407) do que o trabalho (de 100 para 194), a disponibilidade maior de capital reduz o retorno marginal do capital (lei dos rendimentos decrescentes em cada fator), enquanto o trabalho, sendo relativamente mais escasso, tem maior produtividade marginal em 1920.

Resposta

(a) P_{L}(L,K)=0,7575\,L^{-0,25}K^{0,25}=0,7575\left(\dfrac{K}{L}\right)^{0,25},\quad P_{K}(L,K)=0,2525\,L^{0,75}K^{-0,75}=0,2525\left(\dfrac{L}{K}\right)^{0,75}.
(b) P_{L}(194,407)\approx 0,911,\quad P_{K}(194,407)\approx 0,145.

Exercícios relacionados