Cobb e Douglas usaram a equação
para o modelo de economia norte-americana de 1899 a 1922, onde
é a quantidade de trabalho e
, a quantidade de capital. (Veja o Exemplo 3 na Seção 14.1.)
(a) Calcule
e
.
(b) Encontre a produtividade marginal de trabalho e a produtividade marginal de capital no ano de 1920, quando
e
(em comparação com os valores atribuídos
e
em 1899). Interprete os resultados.
(a) Calcule
(b) Encontre a produtividade marginal de trabalho e a produtividade marginal de capital no ano de 1920, quando
Passo 1
O enunciado dá a função de produção
onde
é trabalho e
é capital. Pede-se:
(a) calcular as derivadas parciais e
;
(b) avaliar a produtividade marginal de trabalho e de capital no ano de 1920, quando e
(sabendo que em 1899 foi escolhido
e
como pontos de referência).
Informações dadas relevantes: a expressão de e os valores
,
para 1920; também o
de 1899 como referência.
(a) calcular as derivadas parciais
(b) avaliar a produtividade marginal de trabalho e de capital no ano de 1920, quando
Informações dadas relevantes: a expressão de
Passo 2
Conceito necessário: derivada parcial. Explicação didática e regra usada.
- A derivada parcial
significa: como muda quando fazemos uma pequena variação em , mantendo fixo. - Para diferenciar potências usamos a regra do poder (power rule): se
então . Aqui a mesma regra vale quando diferenciamos em relação a uma variável, tratando a outra como constante. - Ao diferenciar uma constante multiplicativa, ela permanece multiplicando o resultado.
Passo 3
Cálculo detalhado de
.
Começamos por aplicar a regra do poder em , tratando
e
como constantes:
Começamos por aplicar a regra do poder em
Agora simplificamos os coeficientes e o expoente:
e
Logo
Interpretação da forma: o expoente negativo significa
. Podemos também escrever em forma de razão:
pois
. Note que
é a quarta raiz de
.
Passo 4
Cálculo detalhado de
.
Aplicamos a regra do poder em , tratando
e
como constantes:
Aplicamos a regra do poder em
Simplificando coeficiente e expoente:
e
Logo
Também podemos escrever em termos de razão:
pois
.
Passo 5
Avaliação numérica em
— passo a passo com aproximações fáceis de fazer sem calculadora avançada.
Usamos as fórmulas simplificadas:
Usamos as fórmulas simplificadas:
Calculemos as razões:
Cálculo de
(quarta raiz de
):
- Primeiro compute a raiz quadrada:
(pois ). - Em seguida a quarta raiz é
(pois ).
Portanto
Multiplicando:
Cálculo de
:
- Podemos calcular
. - Já vimos que a quarta raiz de
é aproximadamente (pois e ). - Então
.
Multiplicando:
Passo 6
Interpretação econômica e comparação com 1899.
- Significado:
significa que, em 1920, um aumento infinitesimal de unidade de trabalho (mantendo fixo) aumenta a produção em aproximadamente unidades de produção. Analogamente, significa que um aumento infinitesimal de unidade de capital (mantendo fixo) aumenta em aproximadamente unidades. - Comparação com 1899 (
): em temos e , então
Comparando: a produtividade marginal do trabalho passou de
(1899) para
(1920) — aumento de cerca de
. A produtividade marginal do capital caiu de
para
— queda de cerca de
.
- Interpretação intuitiva: como o capital cresceu relativamente mais (de 100 para 407) do que o trabalho (de 100 para 194), a disponibilidade maior de capital reduz o retorno marginal do capital (lei dos rendimentos decrescentes em cada fator), enquanto o trabalho, sendo relativamente mais escasso, tem maior produtividade marginal em 1920.
Resposta
(a)
(b)
(b)