Utilize o Teorema de Clairaut para mostrar que, se as derivadas parciais de terceira ordem de f forem contínuas, então
f_{x y y}=f_{y x y}=f_{y y x}

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que, sob a hipótese de que as derivadas parciais de terceira ordem de f são contínuas, vale
f_{x y y}=f_{y x y}=f_{y y x}.
Informações dadas e claras no enunciado:
\text{As derivadas parciais de terceira ordem de } f \text{ são contínuas.}ãí
Não se pede um exemplo nem contraexemplo — pede-se provar as igualdades entre essas três derivadas terças.

Passo 2

Enunciado útil (Teorema de Clairaut / Schwarz, caso básico que vamos usar): se uma função tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas numa vizinhança, então as derivadas mistas de segunda ordem são iguais. Em símbolos,
\text{se }g_{xy}\text{ e }g_{yx}\text{ são contínuas, então }g_{xy}=g_{yx}.ãíã
Aqui explico o que isso significa: para uma função g(x,y), g_{xy} representa a derivada obtida primeiro por x e depois por y (ou conforme a convenção usada, a ordem é a mesma nos dois lados do teorema), e o teorema garante que trocar a ordem dá o mesmo resultado sempre que as segundas derivadas são contínuas. Vamos aplicar esse fato a funções construídas a partir de f.

Passo 3

Conexão entre a hipótese e a aplicação do teorema: se as derivadas parciais de terceira ordem de f são contínuas, então as derivadas parciais de segunda ordem de f são C^1 (possuem derivadas contínuas) e, em particular, são contínuas. Portanto podemos aplicar o Teorema de Clairaut tanto à função f quanto às funções obtidas por derivar f uma vez (como f_x e f_y). Em palavras: f é C^3 localmente, logo f_x e f_y são C^2 localmente e podemos trocar a ordem de diferenciação sobre elas.

Passo 4

Primeira igualdade: mostrar f_{x y y}=f_{y x y}.
Considere a função g(x,y)=f_y(x,y). Como explicado, g tem segundas derivadas contínuas, então pelo Teorema de Clairaut aplicável a g vale
g_{x y}=g_{y x}.
Agora expresso cada lado em termos de derivadas de f. Primeiro,
g_{x y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial g}{\partial x}\right) =\frac{\partial}{\partial y}\big( (f_y)_x \big)=\frac{\partial}{\partial y}\big( f_{y x} \big)=f_{y x y}.
E
g_{y x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial g}{\partial y}\right) =\frac{\partial}{\partial x}\big( (f_y)_y \big)=\frac{\partial}{\partial x}\big( f_{y y} \big)=f_{x y y}.
Da igualdade g_{x y}=g_{y x} obtemos então
f_{y x y}=f_{x y y},
ou reorganizando,
f_{x y y}=f_{y x y}.

Passo 5

Segunda igualdade (combinando com a anterior para obter as três iguais): mostrar f_{x y y}=f_{y y x}.
Começamos observando a mesma expressão de outra forma. Considere a função h(x,y)=f_x(x,y). Pelo mesmo raciocínio h é C^2. Calculo h_{y y} diretamente:
h_{y y}=\frac{\partial^2}{\partial y^2}(f_x)=\frac{\partial}{\partial y}\big( (f_x)_y\big)=\frac{\partial}{\partial y}\big( f_{x y}\big)=f_{x y y}.
Mas também, por definição de h,
h_{y y}=\frac{\partial^2}{\partial y^2}(f_x)=\frac{\partial}{\partial y}\big( (f_x)_y\big) =\frac{\partial}{\partial y}\big( f_{y x}\big)=f_{y y x},
onde, no passo em que escrevemos (f_x)_y = f_{y x}, usamos a própria definição de derivadas mistas; além disso, a igualdade f_{x y}=f_{y x} (Clairaut para f, que pode ser aplicada já que as segundas derivadas de f são contínuas por hipótese de C^3) garante consistência das trocas que fizemos. Assim obtemos
f_{x y y}=h_{y y}=f_{y y x}.

Passo 6

Conclusão final juntando os resultados dos passos anteriores: do Passo 4 temos f_{x y y}=f_{y x y}. Do Passo 5 temos f_{x y y}=f_{y y x}. Portanto juntando:
f_{x y y}=f_{y x y}=f_{y y x}.
Isso demonstra exatamente o pedido usando o Teorema de Clairaut e a hipótese de continuidade das derivadas de terceira ordem.

Resposta

f_{x y y}=f_{y x y}=f_{y y x}

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