Utilize o Teorema de Clairaut para mostrar que, se as derivadas parciais de terceira ordem de
forem contínuas, então
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que, sob a hipótese de que as derivadas parciais de terceira ordem de
são contínuas, vale
Informações dadas e claras no enunciado:
Não se pede um exemplo nem contraexemplo — pede-se provar as igualdades entre essas três derivadas terças.
Passo 2
Enunciado útil (Teorema de Clairaut / Schwarz, caso básico que vamos usar): se uma função tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas numa vizinhança, então as derivadas mistas de segunda ordem são iguais. Em símbolos,
Aqui explico o que isso significa: para uma função
,
representa a derivada obtida primeiro por
e depois por
(ou conforme a convenção usada, a ordem é a mesma nos dois lados do teorema), e o teorema garante que trocar a ordem dá o mesmo resultado sempre que as segundas derivadas são contínuas. Vamos aplicar esse fato a funções construídas a partir de
.
Passo 3
Conexão entre a hipótese e a aplicação do teorema: se as derivadas parciais de terceira ordem de
são contínuas, então as derivadas parciais de segunda ordem de
são
(possuem derivadas contínuas) e, em particular, são contínuas. Portanto podemos aplicar o Teorema de Clairaut tanto à função
quanto às funções obtidas por derivar
uma vez (como
e
). Em palavras:
é
localmente, logo
e
são
localmente e podemos trocar a ordem de diferenciação sobre elas.
Passo 4
Primeira igualdade: mostrar
.
Considere a função
. Como explicado,
tem segundas derivadas contínuas, então pelo Teorema de Clairaut aplicável a
vale
Agora expresso cada lado em termos de derivadas de
. Primeiro,
E
Da igualdade
obtemos então
ou reorganizando,
Passo 5
Segunda igualdade (combinando com a anterior para obter as três iguais): mostrar
.
Começamos observando a mesma expressão de outra forma. Considere a função
. Pelo mesmo raciocínio
é
. Calculo
diretamente:
Mas também, por definição de
,
onde, no passo em que escrevemos
, usamos a própria definição de derivadas mistas; além disso, a igualdade
(Clairaut para
, que pode ser aplicada já que as segundas derivadas de
são contínuas por hipótese de
) garante consistência das trocas que fizemos. Assim obtemos
Passo 6
Conclusão final juntando os resultados dos passos anteriores: do Passo 4 temos
. Do Passo 5 temos
. Portanto juntando:
Isso demonstra exatamente o pedido usando o Teorema de Clairaut e a hipótese de continuidade das derivadas de terceira ordem.