(a) Quantas derivadas parciais de n-ésima ordem têm uma função de duas variáveis?
(b) Se essas derivadas parciais forem contínuas, quantas delas podem ser distintas?

Passo 1

O enunciado tem duas perguntas claras sobre derivadas parciais de ordem n de uma função de duas variáveis:
  • (a) Quantas derivadas parciais de n-ésima ordem existem (contando todas as derivações possíveis)?
  • (b) Se essas derivadas parciais de n-ésima ordem forem contínuas, quantas delas podem ser distintas (ou seja, quantas são diferentes entre si quando usamos a propriedade de igualdade dos mistos)?
Informações dadas (e que vou usar):
  • A função tem duas variáveis (chame-as de x e y).
  • Derivada de n-ésima ordem significa aplicar n diferenciações sucessivas, cada uma podendo ser em x ou em y.
  • No item (b) podemos usar que, quando as derivadas mistas apropriadas são contínuas, a ordem das diferenciações não altera o resultado (igualdade dos mistos).

Passo 2

Entendendo cuidadosamente o que conta em (a): cada vez que derivamos uma vez escolhemos entre derivar em x ou em y. Fazer n diferenciações sucessivas é escolher uma sequência de n decisões, cada decisão com 2 possibilidades. Pela regra do produto (princípio multiplicativo) o número total de sequências possíveis é
2\cdot 2\cdot \dots \cdot 2 \quad(\text{\(n\) fatores}) = 2^{n}.
Explicando com exemplo pequeno: se n=2 as sequências possíveis são
\partial_x\partial_x, \partial_x\partial_y, \partial_y\partial_x, \partial_y\partial_y — ou seja, 4 = 2^2.

Passo 3

Conclusão do raciocínio da parte (a): cada uma das n diferenciações tem 2 escolhas independentes, logo o total de derivadas parciais de ordem n, contabilizando a ordem das diferenciações, é
2^{n}.

Passo 4

Agora o item (b): quando as derivadas parciais de ordem n são contínuas, vale o teorema de igualdade dos mistas (teorema de Schwarz / Clairaut): qualquer permutação da ordem das diferenciações dá a mesma derivada. Em palavras: se eu aplicar i vezes \partial/\partial x e n-i vezes \partial/\partial y, então o resultado não depende da ordem em que essas i e n-i diferenciações são feitas, desde que todas as derivadas mistas relevantes sejam contínuas.
Um exemplo para fixar a ideia: para n=2, temos as quatro derivadas ordenadas citadas antes, mas a continuidade garante \partial_x\partial_y f=\partial_y\partial_x f, então sob continuidade temos apenas três funções parciais distintas: \partial_x^2 f, \partial_x\partial_y f (igual a \partial_y\partial_x f) e \partial_y^2 f.

Passo 5

Contagem das distintas sob a igualdade dos mistas: o que importa agora é apenas quantas vezes diferenciamos cada variável, isto é, quantos x e quantos y aparecem, não a ordem. Para cada i=0,1,2,\dots,n existe exatamente uma derivada (até igualdade) com i diferenciações em x e n-i em y, que escrevemos como
\frac{\partial^{n}f}{\partial x^{i}\partial y^{\,n-i}}.
Portanto o número de derivadas distintas possíveis é o número de valores possíveis de i, que é n+1.

Passo 6

Outro modo combinatório curto (para fixar): as derivadas distintas correspondem às soluções inteiras não-negativas de i+j=n com i número de derivadas em x e j em y. O número de soluções é n+1. Isso coincide com os exemplos: para n=2 temos 3 distintas; para n=3 temos 4 distintas, etc.

Resposta

2^{n}
n+1

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