(a) Quantas derivadas parciais de
-ésima ordem têm uma função de duas variáveis?
(b) Se essas derivadas parciais forem contínuas, quantas delas podem ser distintas?
(b) Se essas derivadas parciais forem contínuas, quantas delas podem ser distintas?
Passo 1
O enunciado tem duas perguntas claras sobre derivadas parciais de ordem
de uma função de duas variáveis:
- (a) Quantas derivadas parciais de
-ésima ordem existem (contando todas as derivações possíveis)? - (b) Se essas derivadas parciais de
-ésima ordem forem contínuas, quantas delas podem ser distintas (ou seja, quantas são diferentes entre si quando usamos a propriedade de igualdade dos mistos)?
Informações dadas (e que vou usar):
- A função tem duas variáveis (chame-as de
e ). - Derivada de
-ésima ordem significa aplicar diferenciações sucessivas, cada uma podendo ser em ou em . - No item (b) podemos usar que, quando as derivadas mistas apropriadas são contínuas, a ordem das diferenciações não altera o resultado (igualdade dos mistos).
Passo 2
Entendendo cuidadosamente o que conta em (a): cada vez que derivamos uma vez escolhemos entre derivar em
ou em
. Fazer
diferenciações sucessivas é escolher uma sequência de
decisões, cada decisão com 2 possibilidades. Pela regra do produto (princípio multiplicativo) o número total de sequências possíveis é
Explicando com exemplo pequeno: se
as sequências possíveis são
,
,
,
— ou seja, 4 =
.
Passo 3
Conclusão do raciocínio da parte (a): cada uma das
diferenciações tem 2 escolhas independentes, logo o total de derivadas parciais de ordem
, contabilizando a ordem das diferenciações, é
Passo 4
Agora o item (b): quando as derivadas parciais de ordem
são contínuas, vale o teorema de igualdade dos mistas (teorema de Schwarz / Clairaut): qualquer permutação da ordem das diferenciações dá a mesma derivada. Em palavras: se eu aplicar
vezes
e
vezes
, então o resultado não depende da ordem em que essas
e
diferenciações são feitas, desde que todas as derivadas mistas relevantes sejam contínuas.
Um exemplo para fixar a ideia: para
, temos as quatro derivadas ordenadas citadas antes, mas a continuidade garante
, então sob continuidade temos apenas três funções parciais distintas:
,
(igual a
) e
.
Passo 5
Contagem das distintas sob a igualdade dos mistas: o que importa agora é apenas quantas vezes diferenciamos cada variável, isto é, quantos
e quantos
aparecem, não a ordem. Para cada
existe exatamente uma derivada (até igualdade) com
diferenciações em
e
em
, que escrevemos como
Portanto o número de derivadas distintas possíveis é o número de valores possíveis de
, que é
.
Passo 6
Outro modo combinatório curto (para fixar): as derivadas distintas correspondem às soluções inteiras não-negativas de
com
número de derivadas em
e
em
. O número de soluções é
. Isso coincide com os exemplos: para
temos
distintas; para
temos
distintas, etc.