• 6 O comprimento de onda da luz amarela do sódio no ar é 589 nm . (a) Qual é a frequência da luz? (b) Qual é o comprimento de onda da luz em um vidro com um índice de refraçāo de 1,52? (c) Use os resultados dos itens (a) e (b) para calcular a velocidade da luz no vidro.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas:
  • Dado: o comprimento de onda da luz amarela do sódio no ar é \lambda_{\text{ar}}=589\\ \text{nm}.
  • Dado: índice de refração do vidro n=1,52.
  • Perguntas:
    (a) Qual é a frequência da luz?
    (b) Qual é o comprimento de onda da luz no vidro?
    (c) Usando (a) e (b), qual é a velocidade da luz no vidro?
Informações úteis que vou usar (já que preciso ensinar também):
  • A relação entre velocidade v, frequência f e comprimento de onda \lambda é a fórmula fundamental das ondas:
v = f\,\lambda.
Aqui v é a velocidade da onda no meio (em \mathrm{m/s}), f é a frequência (em \mathrm{Hz}) e \lambda é o comprimento de onda (em \mathrm{m}).
  • No vácuo (ou aproximadamente no ar) a velocidade da luz é \,c=3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • Ao atravessar de um meio para outro, a frequência f da luz NÃO muda. O que muda é a velocidade v e, consequentemente, o comprimento de onda \lambda.
  • O índice de refração n relaciona a velocidade no meio v com a velocidade no vácuo c:
n=\frac{c}{v}\quad\text{ou}\quad v=\frac{c}{n}.

Passo 2

(a) Calcular a frequência f.
Primeiro converto o comprimento de onda para metros:
\lambda_{\text{ar}}=589\\ \text{nm}=589\times10^{-9}\\ \mathrm{m}=5,89\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Uso a relação c=f\lambda no ar (onde v\approx c):
f=\frac{c}{\lambda_{\text{ar}}}.
Substituindo os valores:
f=\frac{3,00\times10^{8}}{5,89\times10^{-7}}.
Faço a conta de potências e a divisão numérica:
\frac{3,00}{5,89}\approx0,509\quad\text{e}\quad10^{8-(-7)}=10^{15},
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f\approx0,509\times10^{15}=5,09\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
Comentário didático: interpretar isso é fácil — a onda passa por cerca de 5{,}09\times10^{14} oscilações por segundo.

Passo 3

(b) Calcular o comprimento de onda da luz no vidro.
Razão física: ao entrar no vidro a frequência f permanece igual, mas a velocidade diminui e, portanto, o comprimento de onda diminui. Usando v=f\lambda_{\text{vidro}} e v=c/n obtemos a relação direta:
\lambda_{\text{vidro}}=\frac{\lambda_{\text{ar}}}{n}.
Substituindo os valores (aqui uso o comprimento em nm para resultado em nm):
\lambda_{\text{vidro}}=\frac{589\\ \text{nm}}{1,52}=387,5\\ \text{nm}.
Em metros isso é
\lambda_{\text{vidro}}=387,5\\ \text{nm}=3,875\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Observação didática: dividir o comprimento de onda pelo índice de refração é a forma mais direta de ver por quanto a onda “encolhe” ao entrar no meio.

Passo 4

(c) Calcular a velocidade da luz no vidro usando (a) e (b).
Usando v=f\,\lambda_{\text{vidro}} com f do passo 2 e \lambda_{\text{vidro}} do passo 3:
v = (5,09\times10^{14})\times(3,875\times10^{-7})\\ \mathrm{m/s}.
Faço a multiplicação dos coeficientes e a soma dos expoentes:
5,09\times3,875\approx19,74,\quad 10^{14-7}=10^{7},
portanto
v\approx19,74\times10^{7}=1,974\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando para três algarismos significativos (consistentes com os dados):
v\approx1,97\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Checagem (curta): a relação v=c/n
v=\frac{3,00\times10^{8}}{1,52}=1,9737\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},
o que confirma o valor calculado acima (mesma ordem e mesma aproximação).

Passo 5

Resumo conceitual rápido (para você lembrar na prova):
  • Use sempre c=f\lambda para ligar frequência, velocidade e comprimento de onda.
  • A frequência não muda ao atravessar meios; por isso \lambda muda conforme \lambda_{\text{meio}}=\lambda_{\text{ar}}/n.
  • Velocidade no meio: v=c/n (ou v=f\lambda_{\text{meio}}).
    Vai dar certo — respira e resolve passo a passo como fizemos aqui!

Resposta

(a) f=5,09\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}
(b) \lambda_{\text{vidro}}=387,5\\ \text{nm} (aprox. 3,88\times10^{-7}\\ \mathrm{m})
(c) v_{\text{vidro}}=1,97\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}

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