O coeficiente de atrito estático entre um corpo e uma prancha de madeira é igual a 0,2 . Considerando uma amplitude igual a 0,6 \mathrm{~m}, calcule a freqüência mínima do movimento oscilatório necessário para que o corpo comece a deslizar.

Passo 1

O enunciado dá um coeficiente de atrito estático \mu_s=0,2 entre o corpo e a prancha que oscila de forma harmônica com amplitude A=0,6,m. Queremos achar a menor frequência f para que o bloco ultrapasse o limite estático de atrito e comece a deslizar. O conteúdo usado será movimento harmônico simples (MHS) e a condição de início de deslizamento quando a aceleração máxima ultrapassa \mu_s g.

Passo 2

Num MHS, a aceleração de um ponto da prancha é
a(t) = -A\,\omega^2\sin(\omega t)
onde \omega é a frequência angular. A maior intensidade dessa aceleração (amplitude) é
a_{\text{max}} = A\,\omega^2.

Passo 3

O bloco começa a deslizar quando a força de inércia m\,a_{\text{max}} supera a força máxima de atrito estático F_{\text{at,\,máx}} = \mu_s\,m\,gá. Assim, a condição de deslizamento é
m\,A\,\omega^2 = \mu_s\,m\,g \quad\Longrightarrow\quad A\,\omega^2 = \mu_s\,g.

Passo 4

Despejando para \omega:
\omega = \sqrt{\frac{\mu_s\,g}{A}}.
E a frequência f (em Hz) relaciona-se com \omega por
f = \frac{\omega}{2\pi} =\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\mu_s\,g}{A}}.

Passo 5

Substituindo \mu_s=0,2, g=9{,}8,m/ s^{2} e A=0,6,m:
\omega = \sqrt{\frac{0,2\times9{,}8}{0,6}} = \sqrt{\frac{1{,}96}{0,6}} = \sqrt{3{,}2667} \approx1{,}807\\ \text{rad/s},
f = \frac{1{,}807}{2\pi} \approx0{,}288\\ \text{Hz}.

Resposta

A frequência mínima é aproximadamente 0,29,Hz.

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