Existe um fio de comprimento
preso ao teto de um elevador. Obtenha uma expressão para a freqüência das oscilaçōes de um pêndulo simples feito com este fio, sabendo que:
o elevador está subindo com aceleração
;
o elevador está subindo com aceleração
Passo 1
O enunciado descreve um pêndulo simples de comprimento
num elevador que sobe com aceleração constante
. O objetivo é achar a frequência das pequenas oscilações. Vamos trabalhar no referencial não inercial do elevador, onde aparece uma “gravidade efetiva” igual a
.
Passo 2
No referencial do elevador, o corpo de massa
sofre duas “forças”: o peso efetivo
apontando para baixo e a tensão
no fio apontando para cima. Para pequenas oscilações em torno da posição vertical, podemos escrever a equação de torque em torno do ponto de suspensão.
Seja o ângulo de deslocamento em relação à vertical. O torque restaurador é
Seja
para
pequeno, usando
. Pelo Teorema de Euler para rotações,
, e o momento de inércia de uma partícula a distância
é
. Assim
Passo 3
Simplificando a massa
e um fator
, obtemos a equação diferencial
Essa é a equação de um oscilador harmônico simples com frequência angular
Passo 4
A frequência própria
(número de oscilações por segundo) relaciona-se com
por