Existe um fio de comprimento L preso ao teto de um elevador. Obtenha uma expressão para a freqüência das oscilaçōes de um pêndulo simples feito com este fio, sabendo que:
o elevador está subindo com aceleração a;

Passo 1

O enunciado descreve um pêndulo simples de comprimento L num elevador que sobe com aceleração constante a. O objetivo é achar a frequência das pequenas oscilações. Vamos trabalhar no referencial não inercial do elevador, onde aparece uma “gravidade efetiva” igual a g + a.

Passo 2

No referencial do elevador, o corpo de massa m sofre duas “forças”: o peso efetivo \bigl(m(g+a)\bigr) apontando para baixo e a tensão T no fio apontando para cima. Para pequenas oscilações em torno da posição vertical, podemos escrever a equação de torque em torno do ponto de suspensão.
Seja \theta o ângulo de deslocamento em relação à vertical. O torque restaurador é
\tau = -\,m(g+a)\,L\sin\theta \approx -\,m(g+a)\,L\,\theta
para \theta pequeno, usando \sin\theta\approx\theta. Pelo Teorema de Euler para rotações, \tau = I\,\ddot\theta, e o momento de inércia de uma partícula a distância L é I = mL^2. Assim
mL^2\,\ddot\theta = -\,m(g+a)\,L\,\theta.

Passo 3

Simplificando a massa m e um fator L, obtemos a equação diferencial
\ddot\theta + \frac{g + a}{L}\,\theta = 0.
Essa é a equação de um oscilador harmônico simples com frequência angular
\omega = \sqrt{\frac{g + a}{L}}.

Passo 4

A frequência própria f (número de oscilações por segundo) relaciona-se com \omega por
f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\,\sqrt{\frac{g + a}{L}}.

Resposta

f = \frac{1}{2\pi}\,\sqrt{\frac{g + a}{L}}.

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