Um aro circular de raio
está apoiado em sua periferia sobre um prego preso a uma parede sem atrito. Calcule o período das pequenas oscilações do aro em torno do ponto de equilíbrio.
Passo 1
O enunciado descreve um aro circular de massa
e raio
preso por um prego em sua periferia, sem atrito, e pede o período das pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio vertical. Isto é um problema de pêndulo físico, em que precisamos de (a) torque restaurador para pequenas oscilações e (b) momento de inércia do aro em relação ao ponto de apoio.
Passo 2
Determine o torque restaurador. O peso
atua no centro do aro, a uma distância
do ponto de apoio, gerando torque
para pequenos deslocamentos
, pois
.
Passo 3
Calcule o momento de inércia do aro em relação ao ponto de apoio. O momento de inércia em torno do centro é
e por teorema dos eixos paralelos, passando o eixo para a periferia (distância
),
Passo 4
Escreva a equação do movimento para pequenas oscilações:
Substituindo
obtém-se
logo a frequência angular é
e o período vale
Resposta
O período das pequenas oscilações é