O coeficiente convectivo de calor h pode depender de \mathrm{v}, \mathrm{D}, \mathrm{k}, \mu, \rho e c (calor específico).
\text { Admita: } \mathbf{h}=\mathbf{f}(\mathbf{v}, \mathbf{D}, \mathbf{k}, \boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\rho}, \mathbf{c})
  1. Liste as variáveis com dimensões \mathrm{M}, \mathrm{L}, \mathrm{T}, \Theta.
  2. Aplique o Teorema de Buckingham \Pi para obter Nu, Re e Pr.
  3. Escreva: \mathrm{Nu}=\varphi(\mathrm{Re}, \mathrm{Pr}).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são as variáveis fornecidas.
  • O enunciado dá a dependência funcional
h = f(v, D, k, \mu, \rho, c).
  • Perguntas pedidas:
    1. Listar as variáveis e suas dimensões nas bases \mathrm{M},\mathrm{L},\mathrm{T},\Theta.
    2. Aplicar o Teorema de Buckingham \Pi e obter os números adimensionais \mathrm{Nu},\mathrm{Re},\mathrm{Pr}.
    3. Escrever a forma funcional final \mathrm{Nu}=\varphi(\mathrm{Re},\mathrm{Pr}).
As variáveis presentes são: h,\; v,\; D,\; k,\; \mu,\; \rho,\; c.
A resolução começa a partir da listagem das dimensões (Passo 2).

Passo 2

Listar cada variável com sua dimensão fundamental (explico como encontrei cada uma):
  • Coeficiente convectivo de calor h: unidades \mathrm{W/(m^2\,K)}. Como 1\\ \mathrm{W}=1\\ \mathrm{kg\;m^2\;s^{-3}}, dividindo por \mathrm{m^2\,K} obtém-se a dimensão
[h]=\mathrm{M\,T^{-3}\,\Theta^{-1}}.
  • Velocidade v: distância/tempo
[v]=\mathrm{L\,T^{-1}}.
  • Comprimento característico D:
[D]=\mathrm{L}.
  • Condutividade térmica k: unidades \mathrm{W/(m\,K)}, portanto
[k]=\mathrm{M\,L\,T^{-3}\,\Theta^{-1}}.
  • Viscosidade dinâmica \mu: unidades \mathrm{Pa\cdot s}=\mathrm{kg\;m^{-1}\;s^{-1}}, logo
[\mu]=\mathrm{M\,L^{-1}\,T^{-1}}.
  • Densidade \rho:
[\rho]=\mathrm{M\,L^{-3}}.
  • Calor específico c (massa- específica): unidades \mathrm{J/(kg\,K)}\Rightarrow \mathrm{m^2\,s^{-2}\,K^{-1}}, logo
[c]=\mathrm{L^2\,T^{-2}\,\Theta^{-1}}.

Passo 3

Breve explicação do Teorema de Buckingham \Pi (passo didático):
  • Se há n variáveis e r grandezas fundamentais independentes, então existem (n-r) números adimensionais independentes \Pi.
  • Aqui n=7 (as variáveis listadas) e as grandes fundamentais são \mathrm{M,L,T,\Theta}\Rightarrow r=4. Assim haverá
7-4=3
grupos adimensionais independentes. Esses três serão escolhidos para representar \mathrm{Nu},\mathrm{Re},\mathrm{Pr}.

Passo 4

Escolha das variáveis repetidas (explicação e justificativa didática):
  • Devemos escolher r=4 variáveis repetidas que sejam dimensionalmente independentes e que não incluam a variável dependente h. Uma escolha conveniente (comum neste problema) é
v,\; D,\; k,\; \rho.
  • Justificativa curta: juntas elas envolvem as quatro dimensões básicas \mathrm{M,L,T,\Theta} e são independentes (não formam um adimensional trivially). Com essas repetidas construiremos as três combinações \Pi.

Passo 5

Construção do primeiro \Pi\) com \(h\) (objetivo: obter Nusselt). Monta-se \[\Pi_1 = h\,v^{a}\,D^{b}\,k^{c}\,\rho^{d}.
Agora imponho dimensão adimensional: calculemos dimensão de \Pi_1.
[h]=\mathrm{M\,T^{-3}\,\Theta^{-1}},\quad [v^{a}]=\mathrm{L^{a}T^{-a}},\quad [D^{b}]=\mathrm{L^{b}},
[k^{c}]=\mathrm{M^{c}L^{c}T^{-3c}\Theta^{-c}},\quad [\rho^{d}]=\mathrm{M^{d}L^{-3d}}.
Multiplicando todas:
\Pi_1:\quad \mathrm{M^{1+c+d}\;L^{a+b+c-3d}\;T^{-3-a-3c}\;\Theta^{-1-c}}.
Impondo exponente zero em cada base dá o sistema
\begin{cases} 1+c+d=0\\[4pt] a+b+c-3d=0\\[4pt] -3-a-3c=0\\[4pt] -1-c=0. \end{cases}
Da última equação vem c=-1\]. Substituindo em \(1+c+d=0 obtém-se d=0. Da terceira equação -3-a-3c=0\Rightarrow -3-a+3=0\Rightarrow a=0. Da segunda a+b+c-3d=0\Rightarrow 0+b-1-0=0\Rightarrow b=1.
Logo
\Pi_1 = h\,D\,k^{-1}=\frac{hD}{k}.
Identificamos \Pi_1 com o número de Nusselt:
\mathrm{Nu}=\frac{hD}{k}.]

Passo 6

Construção do segundo \Pi\) com \(\mu\) (objetivo: obter Reynolds). Monta-se \[\Pi_2 = \mu\,v^{a}\,D^{b}\,k^{c}\,\rho^{d}.
Dimensões:
[\mu]=\mathrm{M\,L^{-1}\,T^{-1}},\quad \text{e as repetidas como antes.}
Produto dimensional:
\Pi_2:\quad \mathrm{M^{1+c+d}\;L^{-1+a+b+c-3d}\;T^{-1-a-3c}\;\Theta^{-c}}.
Impondo adimensionalidade:
\begin{cases} 1+c+d=0\\[4pt] -1+a+b+c-3d=0\\[4pt] -1-a-3c=0\\[4pt] -c=0. \end{cases}
Da última equação c=0\]. Então \(1+0+d=0\Rightarrow d=-1. A terceira: -1-a-0=0\Rightarrow a=-1. A segunda: -1+(-1)+b+0-3(-1)=0\Rightarrow -2+b+3=0\Rightarrow b=-1.
Logo
\Pi_2 = \mu\,v^{-1}\,D^{-1}\,\rho^{-1}=\frac{\mu}{\rho v D}.
Reconhecemos que \Pi_2 é o inverso do número de Reynolds. Assim definimos
\mathrm{Re}=\frac{\rho v D}{\mu}.
(Na prática podemos usar \Pi_2^{-1}=\mathrm{Re}.)]

Passo 7

Construção do terceiro \Pi\) com \(c\) (calor específico). Monta-se \[\Pi_3 = c\,v^{a}\,D^{b}\,k^{c}\,\rho^{d}.
Dimensões:
[c]=\mathrm{L^2\,T^{-2}\,\Theta^{-1}},
produto:
\Pi_3:\quad \mathrm{M^{c+d}\;L^{2+a+b+c-3d}\;T^{-2-a-3c}\;\Theta^{-1-c}}.
Sistema (exigindo adimensionalidade):
\begin{cases} c+d=0\\[4pt] 2+a+b+c-3d=0\\[4pt] -2-a-3c=0\\[4pt] -1-c=0. \end{cases}
Da última equação c=-1\]. Então \(d=1. Da terceira: -2-a-3(-1)=0\Rightarrow -2-a+3=0\Rightarrow a=1. Da segunda: 2+1+b-1-3\cdot1=0\Rightarrow 2+1+b-1-3=0\Rightarrow -1+b=0\Rightarrow b=1.
Logo
\Pi_3 = c\,v^{1}\,D^{1}\,k^{-1}\,\rho^{1}=\frac{\rho c v D}{k}.
Esse \Pi_3 corresponde ao número de Peclet \mathrm{Pe}. Observação importante (ligando com \mathrm{Re} e \mathrm{Pr}):
  • Definimos o número de Prandtl usual como
\mathrm{Pr}=\frac{\mu c}{k}.
  • Então multiplicando \mathrm{Re} por \mathrm{Pr} obtemos
\mathrm{Re}\,\mathrm{Pr}=\frac{\rho v D}{\mu}\cdot\frac{\mu c}{k}=\frac{\rho c v D}{k}=\Pi_3=\mathrm{Pe}.
Portanto \Pi_3 é o produto \mathrm{Re}\cdot\mathrm{Pr}.
Também é útil a forma alternativa de \mathrm{Pr} usando difusividades:
\mathrm{Pr}=\frac{\nu}{\alpha},\quad\text{onde}\quad \nu=\frac{\mu}{\rho},\\ \alpha=\frac{k}{\rho c}.]

Passo 8

Interpretação final e construção da relação funcional:
  • Pelo teorema de Buckingham, a primeira \Pi (a que envolve h) pode ser escrita como função das outras duas \Pi:
\Pi_1=\Phi(\Pi_2,\Pi_3).
  • Substituindo os nomes convencionais:
\mathrm{Nu}=\Phi\!\big(\mathrm{Re}^{-1},\;\mathrm{Re}\,\mathrm{Pr}\big).
  • Reescrevendo em termos de \mathrm{Re} e \mathrm{Pr} (troca-se argumentos por formas mais usuais), obtemos a forma clássica
\mathrm{Nu}=\varphi(\mathrm{Re},\mathrm{Pr}).
Isto significa que \mathrm{Nu} depende, de forma adimensional, de \mathrm{Re} e \mathrm{Pr}. A função \varphi não é determinada pela análise dimensional; ela é obtida por teoria adicional, soluções analíticas ou correlações experimentais.

Resposta

  1. [h]=\mathrm{M\,T^{-3}\,\Theta^{-1}},\quad [v]=\mathrm{L\,T^{-1}},\quad [D]=\mathrm{L},\quad [k]=\mathrm{M\,L\,T^{-3}\,\Theta^{-1}},\quad [\mu]=\mathrm{M\,L^{-1}\,T^{-1}},\quad [\rho]=\mathrm{M\,L^{-3}},\quad [c]=\mathrm{L^2\,T^{-2}\,\Theta^{-1}}.
  2. \displaystyle \mathrm{Nu}=\frac{hD}{k},\quad \displaystyle \mathrm{Re}=\frac{\rho v D}{\mu},\quad \displaystyle \mathrm{Pr}=\frac{\mu c}{k}.
  3. \displaystyle \mathrm{Nu}=\varphi(\mathrm{Re},\mathrm{Pr}).

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