Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são as variáveis fornecidas.
O enunciado dá a dependência funcional
h = f(v, D, k, \mu, \rho, c).
Perguntas pedidas:
Listar as variáveis e suas dimensões nas bases \mathrm{M},\mathrm{L},\mathrm{T},\Theta.
Aplicar o Teorema de Buckingham \Pi e obter os números adimensionais \mathrm{Nu},\mathrm{Re},\mathrm{Pr}.
Escrever a forma funcional final \mathrm{Nu}=\varphi(\mathrm{Re},\mathrm{Pr}).
As variáveis presentes são: h,\; v,\; D,\; k,\; \mu,\; \rho,\; c.
A resolução começa a partir da listagem das dimensões (Passo 2).
Passo 2
Listar cada variável com sua dimensão fundamental (explico como encontrei cada uma):
Coeficiente convectivo de calor h: unidades \mathrm{W/(m^2\,K)}. Como 1\\ \mathrm{W}=1\\ \mathrm{kg\;m^2\;s^{-3}}, dividindo por \mathrm{m^2\,K} obtém-se a dimensão
Viscosidade dinâmica \mu: unidades \mathrm{Pa\cdot s}=\mathrm{kg\;m^{-1}\;s^{-1}}, logo
[\mu]=\mathrm{M\,L^{-1}\,T^{-1}}.
Densidade \rho:
[\rho]=\mathrm{M\,L^{-3}}.
Calor específico c (massa- específica): unidades \mathrm{J/(kg\,K)}\Rightarrow \mathrm{m^2\,s^{-2}\,K^{-1}}, logo
[c]=\mathrm{L^2\,T^{-2}\,\Theta^{-1}}.
Passo 3
Breve explicação do Teorema de Buckingham \Pi (passo didático):
Se há n variáveis e r grandezas fundamentais independentes, então existem (n-r) números adimensionais independentes \Pi.
Aqui n=7 (as variáveis listadas) e as grandes fundamentais são \mathrm{M,L,T,\Theta}\Rightarrow r=4. Assim haverá
7-4=3
grupos adimensionais independentes. Esses três serão escolhidos para representar \mathrm{Nu},\mathrm{Re},\mathrm{Pr}.
Passo 4
Escolha das variáveis repetidas (explicação e justificativa didática):
Devemos escolher r=4 variáveis repetidas que sejam dimensionalmente independentes e que não incluam a variável dependente h. Uma escolha conveniente (comum neste problema) é
v,\; D,\; k,\; \rho.
Justificativa curta: juntas elas envolvem as quatro dimensões básicas \mathrm{M,L,T,\Theta} e são independentes (não formam um adimensional trivially). Com essas repetidas construiremos as três combinações \Pi.
Passo 5
Construção do primeiro \Pi\) com \(h\) (objetivo: obter Nusselt). Monta-se
\[\Pi_1 = h\,v^{a}\,D^{b}\,k^{c}\,\rho^{d}.
Agora imponho dimensão adimensional: calculemos dimensão de \Pi_1.
Da última equação vem c=-1\]. Substituindo em \(1+c+d=0 obtém-se d=0. Da terceira equação -3-a-3c=0\Rightarrow -3-a+3=0\Rightarrow a=0. Da segunda a+b+c-3d=0\Rightarrow 0+b-1-0=0\Rightarrow b=1.
Logo
\Pi_1 = h\,D\,k^{-1}=\frac{hD}{k}.
Identificamos \Pi_1 com o número de Nusselt:
\mathrm{Nu}=\frac{hD}{k}.]
Passo 6
Construção do segundo \Pi\) com \(\mu\) (objetivo: obter Reynolds). Monta-se
\[\Pi_2 = \mu\,v^{a}\,D^{b}\,k^{c}\,\rho^{d}.
Dimensões:
[\mu]=\mathrm{M\,L^{-1}\,T^{-1}},\quad \text{e as repetidas como antes.}
Da última equação c=0\]. Então \(1+0+d=0\Rightarrow d=-1. A terceira: -1-a-0=0\Rightarrow a=-1. A segunda: -1+(-1)+b+0-3(-1)=0\Rightarrow -2+b+3=0\Rightarrow b=-1.
Logo
\Pi_2 = \mu\,v^{-1}\,D^{-1}\,\rho^{-1}=\frac{\mu}{\rho v D}.
Reconhecemos que \Pi_2 é o inverso do número de Reynolds. Assim definimos
\mathrm{Re}=\frac{\rho v D}{\mu}.
(Na prática podemos usar \Pi_2^{-1}=\mathrm{Re}.)]
Passo 7
Construção do terceiro \Pi\) com \(c\) (calor específico). Monta-se
\[\Pi_3 = c\,v^{a}\,D^{b}\,k^{c}\,\rho^{d}.
Da última equação c=-1\]. Então \(d=1. Da terceira: -2-a-3(-1)=0\Rightarrow -2-a+3=0\Rightarrow a=1. Da segunda: 2+1+b-1-3\cdot1=0\Rightarrow 2+1+b-1-3=0\Rightarrow -1+b=0\Rightarrow b=1.
Logo
\Pi_3 = c\,v^{1}\,D^{1}\,k^{-1}\,\rho^{1}=\frac{\rho c v D}{k}.
Esse \Pi_3 corresponde ao número de Peclet \mathrm{Pe}. Observação importante (ligando com \mathrm{Re} e \mathrm{Pr}):
Definimos o número de Prandtl usual como
\mathrm{Pr}=\frac{\mu c}{k}.
Então multiplicando \mathrm{Re} por \mathrm{Pr} obtemos
\mathrm{Re}\,\mathrm{Pr}=\frac{\rho v D}{\mu}\cdot\frac{\mu c}{k}=\frac{\rho c v D}{k}=\Pi_3=\mathrm{Pe}.
Portanto \Pi_3 é o produto \mathrm{Re}\cdot\mathrm{Pr}.
Também é útil a forma alternativa de \mathrm{Pr} usando difusividades:
Reescrevendo em termos de \mathrm{Re} e \mathrm{Pr} (troca-se argumentos por formas mais usuais), obtemos a forma clássica
\mathrm{Nu}=\varphi(\mathrm{Re},\mathrm{Pr}).
Isto significa que \mathrm{Nu} depende, de forma adimensional, de \mathrm{Re} e \mathrm{Pr}. A função \varphi não é determinada pela análise dimensional; ela é obtida por teoria adicional, soluções analíticas ou correlações experimentais.