4^{\text {a }} Questão (6 pontos) - Um óleo viscoso escoa, em regime permanente, entre duas placas paralelas. O escoamento é laminar e completamente desenvolvido. O perfil de velocidade é descrito pela equação u(y)= -\frac{h^{2}}{2 \mu} \frac{d p}{d x}\left[1-\left(\frac{y}{h}\right)^{2}\right]. O gradiente de pressão é 1,250 \mathrm{kPa} / \mathrm{m} e a meia altura do canal é \mathrm{h}=3,0 \mathrm{~mm}. Calcule o módulo e o sentido da tensão de cisalhamento na superficie da placa superior. Determine a vazão em volume através do canal admitindo que ele tem largura igual a 1 m . Considere \mu=0,60 \mathrm{~Pa} . \mathrm{s}.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Calcular o módulo e o sentido da tensão de cisalhamento na superfície da placa superior.
Determinar a vazão volumétrica através do canal, sabendo que a largura do canal é 1\\ \mathrm{m}.
Observação importante (sinal): o enunciado deu o módulo do gradiente de pressão. Para haver escoamento no sentido positivo de x a pressão decresce com x, portanto toma-se tipicamente \dfrac{dp}{dx}<0. Vou usar \dfrac{dp}{dx}=-1250\\ \mathrm{Pa/m} (isto corresponde ao módulo dado) e explicarei como o sinal afeta o sentido da tensão de cisalhamento.
Passo 2
Conceito usado para a tensão de cisalhamento: em um fluido newtoniano unidimensional a partir do perfil u(y), o componente de tensão de cisalhamento é
\tau_{xy}=\mu\frac{du}{dy},
onde \tau_{xy} é a tensão atuando no plano y=const com direção x, \mu é a viscosidade dinâmica e \dfrac{du}{dy} é a derivada do perfil de velocidade em relação a y. Aqui \tau_{xy} é a tensão no fluido; a força por unidade de área que o fluido exerce sobre a parede é a mesma em módulo mas de sinal oposto (lei de ação e reação). Vou calcular \dfrac{du}{dy} e avaliar em y=h.
Passo 3
Calcular a derivada \dfrac{du}{dy} a partir do perfil dado. Parto de
\tau_{xy}\big|_{y=h}=-3{,}75\\ \mathrm{Pa} é a tensão que atua no fluido, com sinal negativo indicando que essa componente de tensão aponta no sentido negativo de x.
Pela terceira lei de Newton, a força (tensão) que o fluido exerce sobre a placa é oposta: a placa sofre uma tensão de +3{,}75\\ \mathrm{Pa} dirigida no sentido positivo de x (isto é, no mesmo sentido do escoamento). Portanto o módulo é 3{,}75\\ \mathrm{Pa} e o sentido é no sentido do escoamento (positivo em x).
Passo 5
Agora calculo a vazão volumétrica. A vazão por unidade de largura (fluxo específico) é
q=\int_{-h}^{h} u(y)\,dy.
Uso a forma prática do perfil: u(y)=-\dfrac{1}{2\mu}\dfrac{dp}{dx}\,(h^{2}-y^{2}). Então
Em unidades mais familiares, 3{,}75\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}/s}=0{,}0375\\ \mathrm{L/s}.
Resposta
Módulo da tensão de cisalhamento na superfície da placa superior: 3{,}75\\ \mathrm{Pa}. Sentido: a força do fluido sobre a placa é no sentido positivo de x (mesmo sentido do escoamento).\n
Vazão volumétrica através do canal (largura 1\\ \mathrm{m}): 3{,}75\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}/s}.