Considere a determinação da força de arrasto Fa sobre uma esfera de diâmetro D, que se move com velocidade v em um fluido de densidade \rho e viscosidade dinâmica \mu.
\text { Admita que: } F a=f(D, v, \rho, \mu)
Liste todas as variáveis envolvidas e escreva suas dimensões em M, L, T.
Aplique o Teorema de Buckingham \Pi e determine os grupos adimensionais.
Escreva a relação final na forma \Pi 1=\varphi(\Pi 2) e identifique os grupos físicos.
Passo 1
Primeiro vamos deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
Variáveis envolvidas (pegadas do enunciado) e suas dimensões em termos de massa M, comprimento L e tempo T:
F_a: força de arrasto (força) — dimensão \;[F_a]=M\,L\,T^{-2}.
D: diâmetro da esfera (comprimento) — dimensão \;[D]=L.
v: velocidade (velocidade) — dimensão \;[v]=L\,T^{-1}.
\rho: densidade do fluido — dimensão \;[\rho]=M\,L^{-3}.
\mu: viscosidade dinâmica do fluido — dimensão \;[\mu]=M\,L^{-1}\,T^{-1}.
Contagem para o Teorema de Buckingham:
número de variáveis n=5,
número de dimensões fundamentais r=3 ( M,L,T ),
portanto número de \Pi-grupos esperados: n-r=2.
Passo 2
Vou aplicar o Teorema de Buckingham [\Pi) passo a passo. Regra prática: escolhemos r=3 variáveis repetidas que sejam dimensionalmente independentes. Uma escolha conveniente é D,\;v,\;\rho porque:
[D]=L,
[v]=L\,T^{-1},
[\rho]=M\,L^{-3},
são linearmente independentes nas potências de M,L,T.
Construímos dois grupos adimensionais: um contendo F_a e outro contendo \mu. Para cada grupo escrevemos uma combinação das variáveis repetidas com expoentes a determinar de modo que o produto seja adimensional.
Grupo 1 (contendo F_a). Suponha
\Pi_1 = F_a\,D^{a}\,v^{b}\,\rho^{c}.
Agora escrevemos as dimensões desse produto e igualamos a M^0L^0T^0.
Interpretação: (\Pi_2] é o inverso do número de Reynolds. Definindo o número de Reynolds \mathrm{Re}=\frac{\rho\,v\,D}{\mu},
vemos que \Pi_2=\frac{1}{\mathrm{Re}}.]
Passo 3
Escrevemos a relação final de forma adimensional segundo o teorema:
\displaystyle \frac{F_a}{\rho\,v^{2}\,D^{2}}=\varphi\!\left(\frac{\mu}{\rho\,v\,D}\right). Identificação: \Pi_1 é o coeficiente de arrasto adimensional (proporcional a C_D) e \Pi_2=\mathrm{Re}^{-1} (inverso do número de Reynolds), portanto normalmente escreve-se C_D=f(\mathrm{Re}).