Considere a determinação da força de arrasto Fa sobre uma esfera de diâmetro D, que se move com velocidade v em um fluido de densidade \rho e viscosidade dinâmica \mu.
\text { Admita que: } F a=f(D, v, \rho, \mu)
  1. Liste todas as variáveis envolvidas e escreva suas dimensões em M, L, T.
  2. Aplique o Teorema de Buckingham \Pi e determine os grupos adimensionais.
  3. Escreva a relação final na forma \Pi 1=\varphi(\Pi 2) e identifique os grupos físicos.

Passo 1

Primeiro vamos deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
Variáveis envolvidas (pegadas do enunciado) e suas dimensões em termos de massa M, comprimento L e tempo T:
  • F_a: força de arrasto (força) — dimensão \;[F_a]=M\,L\,T^{-2}.
  • D: diâmetro da esfera (comprimento) — dimensão \;[D]=L.
  • v: velocidade (velocidade) — dimensão \;[v]=L\,T^{-1}.
  • \rho: densidade do fluido — dimensão \;[\rho]=M\,L^{-3}.
  • \mu: viscosidade dinâmica do fluido — dimensão \;[\mu]=M\,L^{-1}\,T^{-1}.
Contagem para o Teorema de Buckingham:
  • número de variáveis n=5,
  • número de dimensões fundamentais r=3 ( M,L,T ),
  • portanto número de \Pi-grupos esperados: n-r=2.

Passo 2

Vou aplicar o Teorema de Buckingham [\Pi) passo a passo. Regra prática: escolhemos r=3 variáveis repetidas que sejam dimensionalmente independentes. Uma escolha conveniente é D,\;v,\;\rho porque:
  • [D]=L,
  • [v]=L\,T^{-1},
  • [\rho]=M\,L^{-3},
    são linearmente independentes nas potências de M,L,T.
Construímos dois grupos adimensionais: um contendo F_a e outro contendo \mu. Para cada grupo escrevemos uma combinação das variáveis repetidas com expoentes a determinar de modo que o produto seja adimensional.
Grupo 1 (contendo F_a). Suponha
\Pi_1 = F_a\,D^{a}\,v^{b}\,\rho^{c}.
Agora escrevemos as dimensões desse produto e igualamos a M^0L^0T^0.
Dimensões de cada fator:
[F_a]=M\,L\,T^{-2},\qquad [D]=L,\qquad [v]=L\,T^{-1},\qquad [\rho]=M\,L^{-3}.
Produto: dimensões de \Pi_1 são
M^{1+c}\;L^{1+a+b-3c}\;T^{-2-b}.
Para ser adimensional impõe-se o sistema
\begin{cases} 1+c=0,\\[4pt] 1+a+b-3c=0,\\[4pt] -2-b=0. \end{cases}
Resolvendo:
-2-b=0 \Rightarrow b=-2,
1+c=0 \Rightarrow c=-1,
1+a+b-3c=0 \Rightarrow 1+a+(-2)-3(-1)=0 \Rightarrow 1+a-2+3=0 \Rightarrow a+2=0 \Rightarrow a=-2.
Portanto
\Pi_1 = F_a\,D^{-2}\,v^{-2}\,\rho^{-1} \;=\; \frac{F_a}{\rho\,v^{2}\,D^{2}}.
Observação física rápida (para fixar a ideia): \Pi_1\] é proporcional ao coeficiente de arrasto usual \[C_D. O coeficiente de arrasto padrão é
C_D=\frac{F_a}{\tfrac{1}{2}\rho v^{2}A},
onde A é a área de referência ( A\propto D^{2}). Assim \Pi_1 é a mesma grandeza adimensional do arrasto, até constantes geométricas.
Grupo 2 (contendo \mu). Suponha
\Pi_2 = \mu\,D^{\alpha}\,v^{\beta}\,\rho^{\gamma}.
Dimensões:
[\mu]=M\,L^{-1}\,T^{-1},
logo dimensões do produto:
M^{1+\gamma}\;L^{-1+\alpha+\beta-3\gamma}\;T^{-1-\beta}.
Impondo adimensionalidade:
\begin{cases} 1+\gamma=0,\\[4pt] -1+\alpha+\beta-3\gamma=0,\\[4pt] -1-\beta=0. \end{cases}
Resolvendo:
-1-\beta=0 \Rightarrow \beta=-1,
1+\gamma=0 \Rightarrow \gamma=-1,
-1+\alpha+\beta-3\gamma=0 \Rightarrow -1+\alpha+(-1)-3(-1)=0 \Rightarrow -2+\alpha+3=0 \Rightarrow \alpha-(-1)=0 \Rightarrow \alpha=-1.
Assim
\Pi_2 = \mu\,D^{-1}\,v^{-1}\,\rho^{-1} \;=\; \frac{\mu}{\rho\,v\,D}.
Interpretação: (\Pi_2] é o inverso do número de Reynolds. Definindo o número de Reynolds
\mathrm{Re}=\frac{\rho\,v\,D}{\mu},
vemos que
\Pi_2=\frac{1}{\mathrm{Re}}.]

Passo 3

Escrevemos a relação final de forma adimensional segundo o teorema:
\Pi_1=\varphi(\Pi_2).
Substituindo os \Pi-grupos encontrados:
\frac{F_a}{\rho\,v^{2}\,D^{2}} \;=\; \varphi\!\left(\frac{\mu}{\rho\,v\,D}\right).
É mais comum reescrever isso em termos do coeficiente de arrasto C_D e do número de Reynolds \mathrm{Re}:
C_D = f(\mathrm{Re}),
com C_D proporcional a \Pi_1 e \mathrm{Re}=\dfrac{\rho v D}{\mu} o grupo físico que compara forças inerciais e viscosas.
Interpretação física dos grupos:
  • \Pi_1=\dfrac{F_a}{\rho v^{2} D^{2}}: grupo adimensional ligado ao arrasto (coeficiente de arrasto).
  • \Pi_2=\dfrac{\mu}{\rho v D}=\mathrm{Re}^{-1}: razão entre efeitos viscosos e inerciais (inverso do número de Reynolds).

Resposta

  1. F_a:\;[F_a]=M\,L\,T^{-2};\quad D:\;[D]=L;\quad v:\;[v]=L\,T^{-1};\quad \rho:\;[\rho]=M\,L^{-3};\quad \mu:\;[\mu]=M\,L^{-1}\,T^{-1}.
  2. \displaystyle \Pi_1=\frac{F_a}{\rho\,v^{2}\,D^{2}},\qquad \displaystyle \Pi_2=\frac{\mu}{\rho\,v\,D}.
  3. \displaystyle \frac{F_a}{\rho\,v^{2}\,D^{2}}=\varphi\!\left(\frac{\mu}{\rho\,v\,D}\right). Identificação: \Pi_1 é o coeficiente de arrasto adimensional (proporcional a C_D) e \Pi_2=\mathrm{Re}^{-1} (inverso do número de Reynolds), portanto normalmente escreve-se C_D=f(\mathrm{Re}).

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