O coeficiente de transferência de calor para o ar escoando sobre uma esfera deve ser determinado pela observação do comportamento dinâmico da temperatura de uma esfera, que é fabricada em cobre puro. A esfera, que tem 12,7 mm de diâmetro, encontra-se a 66^circ C antes de ser inserida em uma corrente de ar a 27^circ C. Um termopar sobre a superfície externa da esfera indica 55^circ C após 69 segundos da inserção da esfera na corrente de ar. Admita, e depois justifique, que a esfera se comporta como um objeto espacialmente isotérmico e calcule o coeficiente convectivo de transferência de calor. Dados: kCu=398 Wm K; rho=8933 kgm^3 e cp=389 J / kg K.

Passo 1

Beleza, o exercício quer que a gente descubra o coeficiente de convecção para o ar que passa por uma esfera de cobre. Isso é conteúdo de transferência de calor por convecção, usando o modelo de “capacitor térmico lumped” (isto é, a esfera é tratada como se tivesse temperatura uniforme).
O que a gente tem:
  • Diâmetro da esfera .
  • Temperatura inicial da esfera .
  • Temperatura do ar .
  • Depois de , a esfera está em .
  • Propriedades do cobre:
    .
    O que vamos precisar:
  1. A equação do modelo lumped (Newton + capacidade térmica);
  2. Volume e área da esfera;
  3. Resolver para e checar se o modelo lumped vale (número de Biot).

Passo 2

Teoria e equação básica.
Quando a Biot T(t)-TinftyTi-Tinfty =exp!l(-h,Arho,V,cp,tr) , a esfera fica quase isoterma e vale o modelo lumped, cuja solução diferencial é:
h = -rho,V,cpA,t,ln!gl(T(t)-TinftyTi-Tinftygr)
A gente vai isolar :

Passo 3

Calcular D=0,0127 m, V=pi D^36, A=pi D^2 e V=pi(0,0127)^36approx1,07times10^-6,m^3, A=pi(0,0127)^2approx5,07times10^-4,m^2 da esfera:
rho V cp =8933cdot1,07!times!10^-6cdot389 approx3,73;J/K
Numericamente:
Também calculamos :

Passo 4

Agora substituímos na fórmula de T(t)-TinftyTi-Tinfty =55-2766-27 =2839approx0,718, ln(0,718)approx-0,332 . Primeiro o logaritmo:
h =-3,73(5,07times10^-4)cdot69 ;(-0,332) approx35,4;W/(m^2cdot K)
Então

Passo 5

Justificando o modelo lumped: calculamos o número de Biot
Bi=h,Lck, Lc=VA=D6approx2,12times10^-3,m,
Bi=35,4cdot2,12times10^-3398 approx1,9times10^-4ll0,1,
logo a esfera se mantém praticamente isoterma e o método é válido.

Resposta

O coeficiente convectivo de transferência de calor é
boxedhapprox35,4;W/(m^2cdot K)

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