QUESTÃO (5,0 pontos):
Corpos de prova cilíndricos e esféricos de um dado material (
; cp =
), inicialmente a
, são imersos em uma corrente de ar a
, escoando ascendentemente e transversalmente a cada um dos corpos de prova com velocidade de
. O corpo cilíndrico tem diâmetro de
, comprimento de 110 cm e encontra-se na horizontal. A esfera tem diâmetro de
. O processo de resfriamento é considerado finalizado quando a temperatura superficial de cada um dos corpos atinge
. Para qual dos corpos de prova o processo irá ocorrer mais rapidamente? Justifique sua resposta com base em argumentos físicos pertinentes.
Passo 1
Beleza, vamos desenrolar o que tá rolando aqui. A questão é de transferência de calor não estacionária (resfriamento por convecção). Temos dois corpos feitos do mesmo material (kₛ, cₚ, ρₛ dados), ambos a 167 °C, jogados num escoamento de ar a 27 °C com velocidade de 0,25 m/s. Um é cilindro (D=1,5 cm, L=110 cm), o outro esfera (D=1,5 cm). A gente quer saber quem atinge 35 °C na superfície primeiro.
Conteúdo necessário:
Conteúdo necessário:
- Cálculo de coeficiente de convecção h via correlações (Re, Pr, Nu).
- Número de Biot para ver se podemos usar “lumped capacitance method”.
- Se cabe, usar equação de resfriamento lumped; senão, dizer que a inércia interna pesa mais.
Passo 2
Primeiro, a gente estima o coeficiente de convecção h para cada corpo. Isso exige:
- Número de Reynolds:
Assumindo , , , : - Número de Prandtl: para ar a T_filme~(167+27)/2≈97 °C,
.
Agora, a correlação de Churchill–Bernstein para cilindro em escoamento transverso (0,4<Re<4·10^5):
Substituindo dá cerca de
Passo 3
Para a esfera, usamos a correlação de Ranz–Marshall (válida para Re até ~2·10^5):
Com os mesmos Re e Pr:
Passo 4
Calculamos o número de Biot (
) para ver se rolamos com lumped:
- Para o cilindro:
Volume, área , Então lumped serve bem. - Para a esfera:
Aqui o lumped já tá no limite (resistência interna não é desprezível), mas pra comparar rápido vamos usar mesmo o lumped como aproximação.
Passo 5
Na abordagem lumped, a curva de temperatura obedece
Passo 6
Calculando o tempo característico
de cada um:
- Cilindro:
- Esfera:
Resposta
O cilindro esfria mais rápido. Ele tem Biot menor (pouca resistência interna) e um tempo característico (
s) bem menor que o da esfera (
s). Portanto, a temperatura de superfície do cilindro atinge 35 °C antes da da esfera.