1^ a QUESTÃO (5,0 pontos):

Corpos de prova cilíndricos e esféricos de um dado material ( ks=0,24 W / m K; cp = 1020 J / kg K ; rhos=1120 kg / m^3 ), inicialmente a 167^circ C, são imersos em uma corrente de ar a 27^circ C, escoando ascendentemente e transversalmente a cada um dos corpos de prova com velocidade de 0,25 m / s. O corpo cilíndrico tem diâmetro de 1,5 cm, comprimento de 110 cm e encontra-se na horizontal. A esfera tem diâmetro de 1,5 cm. O processo de resfriamento é considerado finalizado quando a temperatura superficial de cada um dos corpos atinge 35^circ C. Para qual dos corpos de prova o processo irá ocorrer mais rapidamente? Justifique sua resposta com base em argumentos físicos pertinentes.

Passo 1

Beleza, vamos desenrolar o que tá rolando aqui. A questão é de transferência de calor não estacionária (resfriamento por convecção). Temos dois corpos feitos do mesmo material (kₛ, cₚ, ρₛ dados), ambos a 167 °C, jogados num escoamento de ar a 27 °C com velocidade de 0,25 m/s. Um é cilindro (D=1,5 cm, L=110 cm), o outro esfera (D=1,5 cm). A gente quer saber quem atinge 35 °C na superfície primeiro.
Conteúdo necessário:
  • Cálculo de coeficiente de convecção h via correlações (Re, Pr, Nu).
  • Número de Biot para ver se podemos usar “lumped capacitance method”.
  • Se cabe, usar equação de resfriamento lumped; senão, dizer que a inércia interna pesa mais.

Passo 2

Primeiro, a gente estima o coeficiente de convecção h para cada corpo. Isso exige:
  1. Número de Reynolds: Re = rhoar,v,Dmuar Assumindo Reapprox 1cdot0,25cdot0,0151,8times10^-5approx208 , NuD = 0,3 + 0,62,Re^1/2,Pr^1/3 l[1+(0,4/Pr)^2/3r]^1/4 l[1 + l(tfracRe282000r)^5/8r]^4/5 , NuDapprox7,3, hcil = NuD,karD approx 7,3cdot0,030,015 approx14,6;W/m^2K , :
  2. Número de Prandtl: para ar a T_filme~(167+27)/2≈97 °C, .
Agora, a correlação de Churchill–Bernstein para cilindro em escoamento transverso (0,4<Re<4·10^5):
Substituindo dá cerca de

Passo 3

Para a esfera, usamos a correlação de Ranz–Marshall (válida para Re até ~2·10^5):
NuD = 2 + 0,6,Re^1/2,Pr^1/3
Com os mesmos Re e Pr:
NuDapprox2 + 0,6cdot14,4cdot0,894 approx9,7, hesf = NuD,karD approx 9,7cdot0,030,015 approx19,4;W/m^2K

Passo 4

Calculamos o número de Biot ( Lc=VAapprox9,4times10^-4;m,) para ver se rolamos com lumped:
  • Para o cilindro:
    Volume Bicil=14,6cdot9,4times10^-40,24approx0,057<0,1 , área Lc=VA=pi D^3/6pi D^2=D6approx2,5times10^-3;m,, Biesf=19,4cdot2,5times10^-30,24approx0,20>0,1 Então lumped serve bem.
  • Para a esfera: Aqui o lumped já tá no limite (resistência interna não é desprezível), mas pra comparar rápido vamos usar mesmo o lumped como aproximação.

Passo 5

Na abordagem lumped, a curva de temperatura obedece
T(t)-TinftyTi-Tinfty =expl(-t/taur), tau=rhos,V,cph,A

Passo 6

Calculando o tempo característico taucil =0,055cdot102014,6cdot0,0519 approx74;s de cada um:
  • Cilindro:
    tauesf =0,0020cdot102019,4cdot7,07times10^-4 approx147;s
  • Esfera:

Resposta

O cilindro esfria mais rápido. Ele tem Biot menor (pouca resistência interna) e um tempo característico ( s) bem menor que o da esfera ( s). Portanto, a temperatura de superfície do cilindro atinge 35 °C antes da da esfera.

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