Os coeficientes de difusão do níquel no ferro são fornecidos para duas temperaturas:
\boldsymbol{T}\left({ }^{\circ} \boldsymbol{C}\right) \boldsymbol{D}\left(\boldsymbol{m}^{\mathbf{2}} / \boldsymbol{s}\right)
600 5.5 \times 10^{-14}
700 3.9 \times 10^{-13}
Determine os valores de Do e da energia de ativação Q. Na sequência, determine o valor de D na temperatura de 1300^{\circ} \mathrm{C}(1573 \mathrm{~K}) ?

Passo 1

O enunciado fornece dois coeficientes de difusão de níquel em ferro para temperaturas diferentes e pede para encontrarmos os parâmetros da lei de Arrhenius, isto é, D = D_{0}\exp\bigl(-Q/(R\,T)\bigr). Precisamos:
  1. Converter as temperaturas de ^\circ\mathrm{C} para kelvin.
  2. Ajustar a forma linear \ln D = \ln D_{0} - Q/(R\,T) a dois pontos (1/T,\ln D) para obter Q.
  3. Determinar \ln D_{0} usando um dos pares de dados.
  4. Calcular D a T=1573\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Converter as temperaturas:
T_{1} = 600\,^\circ\mathrm{C} = 600 + 273 = 873\\ \mathrm{K}, \quad T_{2} = 700\,^\circ\mathrm{C} = 700 + 273 = 973\\ \mathrm{K}.
Anotar os dados:
D_{1} = 5{,}5\times10^{-14}\,\mathrm{m^{2}/s}, \quad D_{2} = 3{,}9\times10^{-13}\,\mathrm{m^{2}/s}.

Passo 3

Escrevendo
\ln D_{i} = \ln D_{0} - \frac{Q}{R\,T_{i}},
a diferença entre os dois pontos dá:
\ln\frac{D_{2}}{D_{1}} = -\frac{Q}{R}\Bigl(\frac{1}{T_{2}} - \frac{1}{T_{1}}\Bigr).
Logo,
Q = -R\;\frac{\ln(D_{2}/D_{1})}{(1/T_{2}-1/T_{1})}.
Calcular numericamente:
\ln\frac{3{,}9\times10^{-13}}{5{,}5\times10^{-14}} = \ln(7{,}0909)\approx1{,}958,
\frac{1}{T_{2}}-\frac{1}{T_{1}} =\frac{1}{973}-\frac{1}{873} \approx1{,}177\times10^{-4}\\ \mathrm{K^{-1}},
Q \approx -8{,}314\;\frac{1{,}958}{1{,}177\times10^{-4}} \approx1{,}39\times10^{5}\\ \mathrm{J/mol}.

Passo 4

Para D_{0}, usamos por exemplo o ponto (T_{1},D_{1}):
\ln D_{0} = \ln D_{1} + \frac{Q}{R\,T_{1}}.
Temos
\ln D_{1} = \ln(5{,}5\times10^{-14}) \approx -30{,}53, \quad \frac{Q}{R\,T_{1}} =\frac{1{,}39\times10^{5}}{8{,}314\cdot873}\approx19{,}09,
\ln D_{0}\approx -30{,}53 + 19{,}09 = -11{,}44, \quad D_{0} = e^{-11{,}44}\approx1{,}08\times10^{-5}\,\mathrm{m^{2}/s}.

Passo 5

Calcular D a T=1573\\ \mathrm{K}:
\ln D = \ln D_{0} - \frac{Q}{R\,T} = -11{,}44 \;-\;\frac{1{,}39\times10^{5}}{8{,}314\cdot1573} \approx -11{,}44 - 10{,}59 = -22{,}03,
D(1573\\ \mathrm{K}) = e^{-22{,}03}\approx2{,}7\times10^{-10}\,\mathrm{m^{2}/s}.

Resposta

D_{0}\approx1{,}1\times10^{-5}\,\mathrm{m^{2}/s} Q\approx1{,}4\times10^{5}\,\mathrm{J/mol} D(1300\,^\circ\mathrm{C}=1573\,\mathrm{K})\approx2{,}7\times10^{-10}\,\mathrm{m^{2}/s}

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