Os coeficientes
e
da expressão polinomial
, de grau 5 , formam, nessa ordem, uma P.G. Dividindo
por
,obtém-se como quociente um polinômio q(x).Os coeficientes dos termos de q(x), cujos graus são 2, 0 e 4, respectivamente, formam uma P.A. cuja soma dos termos é 18 . Determine
.
Passo 1
O enunciado dá o polinômio p(x)=a x⁵ + b x³ + c x + d de grau 5, cujos coeficientes a, b, c, d formam uma P.G. e, ao dividir p(x) por x+1, o quociente q(x) tem coeficientes de grau 4, 2 e 0 que formam uma P.A. com soma 18. Vamos usar teoria de progressões e divisão de polinômios para achar p(x).
Passo 2
Para encontrar q(x), aplico a divisão sintética de p(x) por x+1 (raiz = -1). Os coeficientes de p(x) são [a, 0, b, 0, c, d]. Trazendo a, multiplicando por -1 e somando em cada coluna, obtemos q(x)=a x⁴ + (−a)x³ + (a+b)x² + (−(a+b))x + (a+b+c), com resto d−(a+b+c).
Passo 3
Os coeficientes de graus 4, 2 e 0 de q(x) são, respectivamente, a, a+b e a+b+c. Como formam P.A., vale 2(a+b)=a+(a+b+c), o que leva a b=c.
Passo 4
A soma desses três termos é a+(a+b)+(a+b+c)=3a+2b+c, e como b=c, isso é 3a+3b=3(a+b)=18. Logo a+b=6.
Passo 5
Os coeficientes a,b,c,d também formam P.G. com b=c, então ou a=0 (rejeitado, não dá grau 5) ou razão r=1. Assim a=b=c=d, e de a+b=6 vem 2a=6 ⇒ a=3. Então b=c=d=3.
Passo 6
Portanto p(x)=3x⁵ + 3x³ + 3x + 3.
Resposta
p(x)=3x⁵ + 3x³ + 3x + 3