A equação
, com
e
reais, admite 1 como raiz.
a) Expresse
em função de
.
b) Para que valores de
as outras raízes da equação são complexas não reais?
a) Expresse
b) Para que valores de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação cúbica do tipo $ x^{3} - 4x^{2} + m x + n = 0 $ onde $ m $ e $ n $ são números reais. Sabemos que 1 é uma das raízes dessa equação. Vamos precisar usar algumas propriedades das equações polinomiais e um pouco de teoria sobre raízes complexas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos usar o fato de que 1 é uma raiz da equação. Isso significa que, se substituirmos $ x = 1 $ na equação, ela será igual a zero. Vamos fazer isso:
Simplificando:
Então:
Passo 3
Agora, queremos expressar $ m $ em função de $ n $. Para isso, vamos isolar $ m $ na equação que temos:
Subtraindo $ n $ de ambos os lados:
Passo 4
Pronto, resolvemos a parte (a) do exercício. Agora, vamos para a parte (b). Queremos saber para quais valores de $ m $ as outras raízes da equação são complexas não reais.
Sabemos que uma equação cúbica tem três raízes. Já sabemos que uma delas é real (que é 1). Para as outras duas raízes serem complexas não reais, elas devem ser um par de números complexos conjugados.
Para que isso aconteça, a equação quadrática restante (após dividir o polinômio original por $ x - 1 $) deve ter um discriminante negativo. O discriminante da equação quadrática é dado por $ \Delta = b^{2} - 4ac $. Se $ \Delta < 0 $, as raízes são complexas.
Passo 5
Vamos dividir o polinômio original por $ x - 1 $ para encontrar a equação quadrática. Usando a divisão polinomial ou a fatoração, sabemos que:
Agora, a equação quadrática é:
O discriminante dessa equação é:
Simplificando:
Para que as raízes sejam complexas não reais, precisamos que $ \Delta < 0 $:
Passo 6
Resolvendo a desigualdade:
Subtraindo 21 de ambos os lados:
Agora, dividindo ambos os lados por -4. Lembre-se que ao dividir ou multiplicar por um número negativo, invertemos o sinal da desigualdade:
Ou seja,
Resposta
a) $ m = 3 - n $
b) Para $ m > \dfrac{21}{4} $ (ou $ m > 5,25 $), as outras raízes da equação são complexas não reais.